信号处理习题与解答

第1页共24页数字信号处理习题解答第二章数据采集技术基础21有一个理想采样系统，其采样角频率S6，采样后经理想低通滤波器HAJ还原，其中3021，JHA现有两个输入，X1TCOS2T，X2TCOS5T。试问输出信号Y1T，Y2T有无失真为什么分析要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率S必须大于等于信号谱最高角频率H的2倍，即满足S2H。解已知采样角频率S6，则由香农采样定理，可得因为X1TCOS2T，而频谱中最高角频率，所以Y1T无失真；3261H因为X2TCOS5T，而频谱中最高角频率，所以Y2T失真。5222设模拟信号XT3COS2000T5SIN6000T10COS12000T，求（1）该信号的最小采样频率；（2）若采样频率FS5000HZ，其采样后的输出信号；分析利用信号的采样定理及采样公式来求解。采样定理1采样后信号不失真的条件为信号的采样频率FS不小于其最高频率FM的两倍，即FS2FM采样公式2SNTTXXS解（1）在模拟信号中含有的频率成分是F11000HZ，F23000HZ，F36000HZ信号的最高频率FM6000HZ由采样定理FS2FM，得信号的最小采样频率FS2FM12KHZ（2）由于采样频率FS5KHZ，则采样后的输出信号第2页共24页NNNNNNFNXTTXNSSNS52SI512COS3512COS0I512SI512COS3562COS03I说明由上式可见，采样后的信号中只出现1KHZ和2KHZ的频率成分，即KHZFFFFSS2502121令若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号TTTFTFTY40SIN50COS13INCOS1321可见，恢复后的模拟信号YT不同于原模拟信号XT，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。第三章傅里叶分析I傅里叶变换概述31习题32设序列XNNM，求其频谱XEJ，并讨论其幅频和相频响应分析求解序列的频谱有两种方法先求序列的Z变换XZ，再求频谱，即XEJ为单位圆上的Z变换；1JEZJ直接求序列的傅里叶变换2NNJJEXE解对序列XN先进行Z变换，再求频谱，得MZZTZX则JMEZJEJ若系统的单位采样响应HNXN，则系统的频率响应EXP1JHEXHJJMJJJ第3页共24页故其幅频和相频响应（如图）分别为幅频响应1JEH相频响应M由图可见，该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。32设XN的傅里叶变换为XEJ，试利用XEJ表示下列序列的傅里叶变换（1）11NX（2）2分析利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即，JEXNXJEXNXJMJ解（1）由于，则JEXDTFJEXDTF1JJXENXJJ故COS21JJJJEEXNXDTF（2）由于J故RE22JJJXENX33设XEJ是如图所示的信号XN的傅里叶变换，不必求出XEJ，试完成下列计算（1）0J（2）DJ（3）EXJ2HEJ1第4页共24页分析利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。（1）序列的傅里叶变换公式为正变换NNJJEXEX反变换DXNJ21（2）帕塞瓦定理EXNJ22解（1）由傅里叶正变换公式可知0，则600NNJJXEXEX（2）由于EJ01，则由傅里叶反变换公式可知N0，故42200NJJDXD（3）由帕塞瓦定理，得822NJXEII周期序列的离散傅里叶级数（DFS）34如图所示，序列XN是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。分析利用DFS的定义求解，即，其中K0N110NNKNWXDFSKX第5页共24页解已知N6，则由DFS的定义得KJKJKJKJKJNNKJNEEEXWXKX56246236226625050108114对上式依次取K05，计算求得3953439JXJX，35设，NNX其他，0124NRH令，试求与的周期卷积。66HXH分析可以利用列表法求解，直观方便。由于NY10NMN只要将列表中对应于某个N的一行中的值和第一行中与之对应的值相乘，HMX然后再将所有乘积结果相加，就得到此N的值Y解注意本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序列循环移位的概念。在一个周期（N6）内的计算卷积值NXY10NMNHXH则与的周期卷积值（N05）如下表所示NXHIII离散傅里叶变换（DFT）36已知XN如图所示，为1，1，3，2，试画出序列XN5，XN6R6N，XN3R3N，XN6，XN35R5N和XN7R7N的略图。第6页共24页分析此题需注意周期延拓的数值，也就是XNN中N的数值。如果N比序列的点数多，则需补零；如果N比序列的点数少，则需将序列按N为周期进行周期延拓，造成混叠相加形成新的序列。解各序列的略图如图所示。37试求下列有限长序列的N点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）（1）NRAX（2）00，（3）XN（4）2NR分析利用有限长序列的DFT的定义，即1010NKWNXKXNK，第7页共24页解（1）因为，所以NRAXNKNJNNNKJNKAEEAWKX2102101（2）因为，所以NX，KNNJNNKNNEWX02100（3）由，得NRXN10NNKX注意为了便于求解，必须利用代数简化法消除掉上式中的变量N。101NNNKKWNWWNNWKXKNNNKKKKKKNNNK11221311110110令所以KNX1（4）注意本题可利用上题的结论来进行化简。由，则2NRXN102NNKNWKX根据第（3）小题的结论若1RXN第8页共24页则KNNNKWX1101与上题同理，得KNNNKKNKNNKKKNKNNNNKWXWWX12121124911213210110所以102NKKXKN，38试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。分析本题可以直接利用循环卷积的公式求解，也可以利用循环移位的概念来求解，即有限长序列XN左移M（M为正整数）位的循环移位定义为NRXNN且移位时，在主值区间（N0N1）内，当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入。解由循环卷积的定义，可知1NXY6612NX62NR3361X则根据循环移位的概念，将序列X1N循环右移3个单位后乘以3并取其主值序列（N05）即可，其结果如图所示。第9页共24页39如图所示的5点序列XN，试画出（1）XNXN（2）XNXN5（3）XNXN10分析本题可由图解法来计算循环卷积，并利用循环卷积来求解线性卷积。同时应注意循环卷积代替线性卷积的条件设两个有限长序列XN、HN的点数分别为N和M，其循环卷积的长度为L，则要用循环卷积代替线性卷积的条件是循环卷积的长度L必须不小于线性卷积的长度NM1，即LNM1否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。解由于XN是5点序列，所以XNXN是5519点序列，因此，XNXN的前9个点10（N0，1，8）就是XNXN值，后一个点（N9）为零，因为L点循环卷积等于线性卷积结果的L点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列（L可以是任意整数值）。其运算结果分别如图（A）、（B）、（C）所示。310已知两个有限长序列为第10页共24页651403NNYX，试作图表示XN，YN以及FNXNYN。7分析直接利用循环卷积公式或图解法求解。解其结果如图所示。311习题310已知XN是N点有限长序列，且XKDFTXN。现将它补零扩展成长度为RN点的有限长序列YN，即10RNNX，试求RN点DFTYN与XK的关系。分析利用DFT定义求解。YN是RN点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。解由10102NKENXDFTKXNKNJ，可得101021010NLRKXENXWXYKYNRKNJNKRNNRNKR，所以在一个周期内，YK的采样点数是XK的R倍（YK的周期为RN），相当于在XK的每两个值之间插入R1个其它的数值（不一定为零），而当K为R的整数L倍时，YK与相等。RX312习题312频谱分析的模拟信号以8KHZ被采样，计算了512个采样点的DFT，试确定频谱采样之间的间隔，并证明你的回答。第11页共24页分析利用频域采样间隔F0和时域采样频率FS以及采样点数N的关系FSNF0。证由20FFS，得0SSF其中S是以角频率为变量的频谱周期，0是频谱采样之间的频谱间隔。又NFFSS0则FS0对于本题有FS8KHZ，N512所以HZF625180313习题320设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力10HZ，如果采用的采样时间间隔为01MS，试确定（1）最小记录长度；（2）所允许处理信号的最高频率；（3）在一个记录中的最小点数。分析采样间隔T和采样频率FS满足FS1/T，记录长度T0和频域分辨力F0的关系为T01/F0，采样定理为FS2FH（FH为信号最高频率分量），一个记录中最少的采样总数N满足002FFNHS解（1）因为T01/F0，而F010HZ，所以ST10即最小记录长度为01S。（2）因为，而FS2FHKHZTFS103所以KZFSH51第12页共24页即允许处理信号的最高频率为5KHZ。（3）1030TN又因N必须为2的整数幂所以一个记录中的最少点数为N2101024。IV快速傅里叶变换（FFT）314如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5S，每次复加05S，用它来计算512点的DFTXN，问直接计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间分析直接利用DFT计算复乘次数为N2，复加次数为NN1；1利用FFT计算复乘次数为，复加次数为；2LOG2LOG解（1）直接计算复乘所需时间SNT31075210105626复加所需时间S130865262所以ST41321（2）用FFT计算复乘所需时间SNT0152LOG50LOG1052626复加所需时间3412所以ST0382421315已知XK，YK是两个N点实序列XN，YN的DFT值，今需要从XK，YK求XN，YN的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。分析我们来组成一个新的序列XKJYK序列，则有NJYXKYJIDFTITJIDFT它的实部即为实序列XN，虚部即为实序列YN。解依据题意，可知KYKX，取序列JZ第13页共24页对ZK作N点IFFT可得序列ZN。又根据DFT线性性质NJYXKYJIDFTKXITKJYXIDFT由原题意可知，XN，YN都是实序列。再根据ZNXNJYN，可得IMRENZYX316习题322,323N16时，画出基2按时间抽取法（DIT）及按频率抽取法（DIF）的FFT流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。分析DIF法与DIT法的异同1不同点DIT与DIF的基本蝶形图不同，DIF的复数乘法出现在减法之后，DIT的复数乘法出现在减法之前；相同点DIT与DIF的运算量是相同的；DIF法与DIT法的关系它们的基本蝶形是互为转置的。2解（1）按时间抽取（DIT）如图所示（2）按频率抽取（DIF）如图所示第14页共24页317课堂思考题若是因果稳定序列，求证,21NX211212121DEXDEXDEXJJJJ证设21NXNY则由时域卷积定理，得21JJJEXEY即DEXEYNYXNNJJJ21221令上式的左右两边N0，得0212100212XKNXNDEXNKJJ又傅里叶反变换公式，得，DENXNJ21DEXNJ22则，XJ011XJ1022所以第15页共24页2121212121DEXDEXDEXJJJJ318课堂思考题在N16时按时间抽取的基2FFT算法中，若输入序列XN采用倒位序，输出序列XK采用自然数顺序，试写出输入序列XN的排列顺序，并简述理由。答N16的基2FFT算法中，输入序列XN倒位序排列顺序为X0、X8、X4、X12、X2、X10、X6、X14、X1、X9、X5、X13、X3、X11、X7、X15。其倒位序排序规则如表所示自然顺序N自然顺序二进制数倒位序二进制数倒位序顺序ERROR0000000000100011000820010010043001111001240100001025010110101060110011067011111101481000000119100110019101010010151110111101131211000011313110110111114111001117151111111115第五章时域分析51随机相位正弦波SIN0TXT式中，X0,均为常数，在02内随机取值，试求其自相关函数并作图。分析利用自相关函数的定义求解，即TXDTXTR01LIM解由自相关函数的定义式，得第16页共24页COS2SINCOSICOINLIM21SINSILI1M02/0XDRTDTDTTTXDTTRXX故且则令，可见，该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率有关，而不含相位信息，这表明正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率余弦函数。其自相关函数图形如图所示。52两个随机相位正弦波SIN0TBTYAX式中，A0,B0,均为常数，在02内的取值概率相同，即满足其它，221P试求其互相关函数并作图。分析利用互相关函数的定义求解，即TXYDTYTXR01LIM解由互相关函数的定义式，得COS21SINILI020BADTTTXY可见，两个正弦函数的互相关函数仍为同频率的余弦函数，其最大峰值出现在/处。其互相关函数图形如图所示。RXXX02/2RXY/第17页共24页第六章数字滤波器设计61已知模拟滤波器的模方函数1694202JH求模拟滤波器的传递函数。分析利用模拟滤波器的模方函数|HJ|2与其传递函数HS之间的关系式求解，即JSJSJ2解将SJ，即2S2代入|HJ|2，得43252169402SSJJSS可见，系统有四个极点S1,23，S3,44和两对零点Z1,2J2。为了得到一个稳定的滤波系统，则将左半平面的极点分配给HS；并取虚轴上的一对共轭零点作为HS的零点，以保证HS收敛，故模拟滤波器的传递函数为435SJJS62试设计一个巴特沃思（BW）低通模拟滤波器，使滤波器的幅度响应在通带截止频率105RAD/S处的衰减不大于3DB，在阻带截止频率4105RAD/S处的衰减不小于35DB。分析按照62中所述的巴特沃思低通滤波器的设计过程来实现。先确定滤波器的阶数N1由于公式1令令令221LG01LG0NCSPNCSSSPPP则滤波器的阶数公式2注意N为正整数SPL/且截止频率公式3SNCPNC/1/1令求解位于左半S平面上的极点公式42第18页共24页NKESNKJCK2,121，确定N阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数公式53NCNKKCSSSSH211解先确定滤波器的阶数N1由题意可知，P105RAD/S时，通带最大衰减P3DBS4105RAD/S时，阻带最小衰减S35DB则代入公式1，求得参数和25611LG0351LG022SSPP将参数、P和S代入公式2，则滤波器的阶数39L/NNSP令将参数N、和P代入公式3，可得截止频率SRADPNC/105/1求解位于左半S平面上的极点2将参数C和N代入公式4，得极点3,213/12KESKJCNJK令即2/31/3/4323/21CJCCJCCJESJ确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数HS3将参数N、C和SK代入公式5，得巴特沃斯低通滤波器的传递函数（式中C105RAD/S）32332131CCCNKKCSSSSH63试导出二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设C3RAD/S。分析本题利用模方函数求出其左半S平面极点，而求得系统函数。N阶巴特沃斯低通滤波器的模方函数定义为NCJJH221第19页共24页在上式中代入JS，可得NCJSHS21而HSHS在左半S平面的极点即为HS的极点，因此NKKS10其中，K0由来确定。KESNKJCK,221令10S注意可以证明，系数K0CN。解对于二阶（N2）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为42211CNCJJJH令JS，则有4CJSS各极点满足,32141221KEESKJCNKJCK令则K1,2时，所得的SK位于左半S平面，即为HS的极点2345231JESJCJC由以上两个极点构成的系统函数为932010SKSKSH代入条件，可得K09注K0C2，故二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数10S932SS64试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设C2RAD/S。分析与习题63同理，利用模方函数求出其左半S平面极点，而求得系统函数。解对于三阶（N3）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为62211CNCJJJH第20页共24页令JS，则有61CJSHS各极点满足,2123112KEESKJNKJCK令不难得知，当K1,2,3时，相应的极点SK均位于左半S平面。则滤波器的系统函数HS的极点31234321JESJJJJ因此，三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数为8423213SSSHC65设模拟滤波器的系统函数为2BAS试利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器。分析利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器的过程如图所示解将HS展开成部分分式，得JBASJSBAS2/1/2对HS取拉氏反变换，得TJBATJBAETH1对HT作周期为T的等间隔采样，得NTJBANTJBANTT2对HN取Z变换，得IIR数字低通滤波器的系统函数为2110COS21ZEZBTEZHZHATAJBJBNN66设有一模拟滤波器确定AF的传函HS给定指标求解AF的单位冲激响应HT取拉氏反变换获得DF的单位冲激响应序列HN采样获得DF的传函HZZ变换令TNT第21页共24页12SSH采样周期T2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数HZ。分析双线性变换法是模拟系统函数的S平面和数字系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，其变换关系为12ZTS解将T2代入变换公式，可得1ZS则数字系统函数1212113ZZZHZS67用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，采样频率FS12KHZ，截止频率FC400HZ。分析按照63中所述的采用双线性变换法的设计过程来实现。利用关系式T将给定的模拟域频率指标转化为数字域频率指标1利用如下的预畸变补偿公式将数字域频率指标变换为补偿后的模拟域频率指标22TANT按补偿后的模拟域频率指标设计三阶巴特沃斯模拟滤波器HS参见例6243利用双线性变换公式，将模拟滤波器HS变换为数字滤波器HZ，即4（T为采样周期）12ZZ解此数字滤波器的截止频率3204SCCFT由预畸变补偿，得相应的模拟滤波器的截止频率SSCCFFT2TAN2TAN由习题64可知，三阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数3213SSSHC第22页共24页其中，滤波器的系统函数HS的极点343231JCJCJCESESE令令故有323CCCSS将双线性变换公式和代入，可得三阶巴特沃斯数字滤波器的系统函数SCF2312112131331322311126ZZZZZFFFZSHSZHCSCSCSCZFZTS68请选择合适的窗函数及窗宽N来设计一个线性相位低通滤波器CCJJDEH令0要求其阻带最小衰减为45DB，过渡带宽为8/51，试求出HN（设截止频率C05）。分析本题是真正实用的设计题，从中可以看到阻带衰减影响窗形状的选择（当然用凯塞窗则可改变来满足阻带衰减的要求），而窗宽N的选择则影响过