2016年高考试题数学理天津卷解析版

第1页共17页2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学第I卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合则（）1,234,|32,ABYXA，B（A）（B）（C）（D）11,4【答案】D【解析】试题分析选D1,470,AB1,4B考点集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏（2）设变量X，Y满足约束条件则目标函数的最小值为（）20,369XY25ZXY（A）（B）6（C）10（D）174【答案】B考点线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围（3）在ABC中，若,BC3，,则AC（）13AB120C（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A第2页共17页【解析】试题分析由余弦定理得,选A213931AC考点余弦定理【名师点睛】1正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解2利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）（A）2（B）4（C）6（D）8【答案】B【解析】试题分析依次循环结束循环，输出，选B8,N2S,34,NS4考点循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项（5）设AN是首项为正数的等比数列，公比为Q，则“Q0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线241XY相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2B，则双曲线的方程为（）（A）（B）（C）（D）2431YX2341YX241XY241XY【答案】D考点双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点1确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定A，B的值，常用待定系数法2利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为AX2BY21AB0若已知渐近线方程为MXNY0，则双曲线方程可设为M2X2N2Y20（7）已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得ED,BCA,DEF，则的值为（）EFD2BCA（A）（B）（C）（D）8584181【答案】B【解析】试题分析设，AB12EABA324FEBA第4页共17页，故选B1353244AFDABAB25351484AFBCAB考点向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来（8）已知函数F（X）（A0,且A1）在R上单调递减，且关于X的方程24,0LOG13AX恰好有两个不相等的实数解，则A的取值范围是（）|F（A）（0，（B），（C），（D），）23342341324【答案】C【解析】试题分析由在上递减可知，由方程恰好有两个不相等的FXR340131,4AA|2FX实数解，可知，又时，抛物线与直线132,A2323YA相切，也符合题意，实数的去范围是，故选C2YXA13,4考点函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路1直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解第卷注意事项1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2、本卷共12小题，共计110分二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分（9）已知，I是虚数单位，若，则的值为_,ABR1IBA【答案】2第5页共17页【解析】试题分析，则，所以，故答案为211IBBIA10BA21BA考点复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如,，ABICDABDCIABDR其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实2,，ABICDR,ABIR部为、虚部为、模为、共轭为2ABABI（10）的展开式中X2的系数为_用数字作答281X【答案】56考点二项式定理【名师点睛】1求特定项系数问题可以分两步完成第一步是根据所给出的条件特定项和通项公式，建立方程来确定指数求解时要注意二项式系数中N和R的隐含条件，即N，R均为非负整数，且NR；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项2有理项是字母指数为整数的项解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位M），则该四棱锥的体积为_M3第6页共17页【答案】2【解析】试题分析由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为故答案为2123V考点三视图【名师点睛】1解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE2AE2，BDED，则线段CE的长为_【答案】23【解析】试题分析设，则由相交弦定理得，又，所以CEXDECAB2DEX2BEX，因为是直径，则，在圆中，则1AAB231249CDA，即，解得BED2149X考点相交弦定理【名师点睛】1解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路1直接应用相交弦、切割线定理及其推论；2当比例式等积式中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握2应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等（13）已知FX是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增若实数A满足，122AFF则A的取值范围是_第7页共17页【答案】13,2考点利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有1借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效2借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化14设抛物线，（T为参数，P0）的焦点为F，准线为L过抛物线上一点A作L的垂线，垂足为B设2XPYC（P,0），AF与BC相交于点E若|CF|2|AF|，且ACE的面积为，则P的值为_7232【答案】6【解析】试题分析抛物线的普通方程为，又，则2YPX,02F732PC2CFA，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即32AFP3ABA|AY/BE，所以，所以，EC26CEFS9CFECFSS13922P6考点抛物线定义【名师点睛】1凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若PX0，Y0为抛物线Y22PXP0上一点，由定义易得|PF|X0；若过焦点的弦AB的端点坐标为P2AX1，Y1，BX2，Y2，则弦长为|AB|X1X2P，X1X2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到三、解答题本大题共6小题，共80分（15）已知函数FX4TANXSINCOS2X3求FX的定义域与最小正周期；（）讨论FX在区间上的单调性,4第8页共17页【答案】（），（）在区间上单调递增,在区间上单调,2XKZ124412，递减【解析】试题分析（）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求定义域、周期根据（1）的结论，研究三角函数在区间2SIN3FX上单调性,4试题解析解的定义域为FX,2XKZ4TANCOS34SINCO3FXX213SII2ISI2XINCOSSIN3COIN3XX所以,的最小正周期F2T解令函数的单调递增区间是2,3ZXSINYZ2,KKZ由,得2KK5,11KXZ设，易知,42ABX,124AB所以,当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减XF14，考点三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证对于三角函数来说，常常是先化为YASINXK的形式，再利用三角函数的性质求解三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式第9页共17页16（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望XX【答案】（）（）详见解析13试题解析解由已知，有12340,CPA所以，事件发生的概率为随机变量的所有可能取值为X,12，23410CP5，342107X342105CP所以，随机变量分布列为X12P41575415随机变量的数学期望X74021EX考点概率，概率分布与数学期望【名师点睛】求均值、方差的方法1已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义公式求解；2已知随机变量的均值、方差，求的线性函数AB的均值、方差和标准差，可直接用的第10页共17页均值、方差的性质求解；3如能分析所给随机变量是服从常用的分布如两点分布、二项分布等，可直接利用它们的均值、方差公式求解17（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2（I）求证EG平面ADF；（II）求二面角OEFC的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值23【答案】（）详见解析（）（）37211,0,1,01,120,1,0ABCDEFG，第11页共17页（I）证明依题意，设为平面的法向量，则，2,01,2ADF1,NXYZADF10NADF即不妨设，可得，又，可得，又因为直线20XYZZ10,0,12EG1EG，所以EGAF平面/EGAF平面（II）解易证，为平面的一个法向量依题意，设1,0OOE1,01,2FC为平面的法向量，则，即不妨设，可得2,NXYZC20NCF02XYZX2,1N因此有，于是，所以，二面角的正弦值为226COS,3ANO23SI,ANOEF3（III）解由，得因为，所以，进而有23AHF25AF1,2A224,55AHF，从而，因此所以，直线和平面34,584,B227COS,1BNHBH所成角的正弦值为CEF721考点利用空间向量解决立体几何问题【名师点睛】1利用数量积解决问题的两条途径一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算2利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题第12页共17页1A0，B0，ABAB0；2|A|；A23COSA，BAB|A|B|18已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项ND,BNNA1N设，求证是等差数列；21,NCNNC设，求证211,NNKADTB21NKTD【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析（）先根据等比中项定义得，从而，因此21NBA211211NNNNNCBADA根据等差数列定义可证（）对数列不等式证明一般以算代证先利用分组212NCDD求和化简，再利用裂项相消法求和221NNKTB212341NBB21DN，易得结论222111NNNKKKDDD考点等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【名师点睛】分组转化法求和的常见类型1若ANBNCN，且BN，CN为等差或等比数列，可采用分组求和法求AN的前N项和2通项公式为ANERROR的数列，其中数列BN，CN是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和（19）（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为132YAX3FA|3|1|FAEOO第13页共17页原点，为椭圆的离心率E（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于ALBXLLMY点，若，且，求直线的斜率的取值范围HFBMOA【答案】（）（）2143XY,46,【解析】试题分析（）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用13|COFA13CA，可解得，（）先化简条件，即M再OA223ACB21C24AMO|A中垂线上，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据MXB，列等量关系解出直线斜率取值范围HFB试题解析（1）解设，由，即，可得，又,0C13|COFA13CA223AC，所以，因此，所以椭圆的方程为223ACB224A243XY（2）（）解设直线的斜率为（），则直线的方程为设，由方程组LK0LK,BYX，消去，整理得1342XKYY012613422XK设，由方程组消去，解得在中，,MYX21492XKYKY1290KXMAO第14页共17页，即，化简得，即，解得|MOAMOA22MYXX1X1290K或46KK所以，直线的斜率的取值范围为L,46,考点椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑1利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；3利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4利用基本不等式求出参数的取值范围；5利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围（20）（本小题满分14分）设函数,，其中31FXAXBRBA,I求的单调区间；II若存在极值点，且，其中，求证；XF0X01XFF01X1023X（）设，函数，求证在区间上的最大值不小于0A|GG,4【答案】（）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析（）先求函数的导数，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论AXF213当时，有恒成立，所以的单调增区间为当时，存在三个单调区间0A0FX,0A（）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（）实质3120A0032FXF1XFF研究函数最大值主要比较，的大小即可，分三种情况研究当XG1,F3|,|AFF时，当时，3A3201AA4，当时，2112304A2310A第15页共17页试题解析（）解由，可得BAXXF31AXF213下面分两种情况讨论（1）当