《流体力学》典型例题

1流体力学典型例题（9大类）例1例3牛顿内摩擦定律（牛顿剪切公式）应用例4例5流体静力学基本方程式的应用用流体静力学基本方程和等压面计算某点的压强或两点之间的压差。例6例8液体的相对平衡流体平衡微分方程中的质量力同时考虑重力和惯性力（补充内容）（1）等加速直线运动容器中液体的相对平衡（与坐标系选取有关）（2）等角速度旋转容器中液体的平衡（与坐标系选取有关）例9求流线、迹线方程；速度的随体导数（欧拉法中的加速度）；涡量计算及流动有旋、无旋判断例1016速度势函数、流函数、速度场之间的互求例17计算流体微团的线变形率、角变形率及旋转角速度例1820动量定理应用（课件中求弯管受力的例子）例2122总流伯努利方程的应用例23综合总流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流态判断、管路系统沿程与局部损失计算例题1如图所示，质量为M5KG、底面积为S40CM60CM的矩形平板，以U1M/S的速度沿着与水平面成倾角的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度1MM，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线30性分布。求油的动力粘性系数。UGMG解由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力DUY又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律，即0MFAGSINS324GSIN59811NSM6MUS粘性是流体在运动状态下，具有的抵抗产生剪切变形速率能力的量度；粘性是流体的一种固有物理属性；流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重性。例题2如图所示，转轴的直径D036M，轴承的长度L1M，轴与轴承的缝隙宽度023MM，缝隙中充满动力粘性系数的油，若轴的转速。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。073PAS20RPNDLN解由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力60DNUY粘性阻力（摩擦力）FSL2克服油的粘性阻力所消耗的功率323223006146715098WDDNNNLPMFL例题3如图所示，直径为的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为，若下盘固定不动，上盘以恒定角速D度旋转，此时所需力矩为，求间隙厚度的表达式。TD解由于圆盘不同半径处的线速度不同，在半径处取径向宽度的微元面积环，根据牛顿内摩擦定律，可得该微元面RR积环上受到的切向力为2DFADRT4242003D4T例题4如图所示的双U型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度（取管中水的密度1000KG/M3）。水H1H2H34水H1H2H3H4水11223解经分析可知图中11和22为两组等压面。根据等压面的性质和流体静力学基本方程，采用相对压强可得0PGH左侧，112水右侧243水中间12联立可得2343GGGHHH水水1432水HZ容器A容器BHZ容器A容器B22112例题5如图所示，U型管中水银面的高差H032M，其他流体为水。容器A和容器B中心的位置高差Z1M。求A、B两容器中心处的压强差（取管中水的重度9810N/M3，水银的重度133416N/M3）。水水银解图中11、22为2组等压面。根据等压面的性质和流体静力学基本方程，可得0PGH，A1P水12PH水银B2水B2134609803297PAHZ水银水水银水例题6如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H12M，长L3M，静止时盛水深度H09M。现水箱以的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度，水箱中自由水面的压强2098MSA31KGM98000PA。试求P（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。（2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度。MAXHHLAXZO解（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，Z轴垂直向上，X轴与加速度的方4向一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为0XA,YZG代入非惯性坐标系中的压力全微分公式，得DDDPXYZW积分得1C利用边界条件确定积分常数在坐标原点O（）处，得1C0XZ0P10CP由式可得水箱内的压强分布09801989898PAXGZZXZ对于水箱中的等压面，有，所以由式可得等压面的微分方程DPDAXG积分得2ZC上式给出了一簇斜率为的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面AG通过坐标原点，可确定积分常数。因此自由水面方程为20C0981AZXXG（2）假设水箱以加速度运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为，则根据加速前后水的体积MAXH不变的性质可得2HHLL又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系MAXG和式联立求解，得2MAX22109816MS3HL例题7有一盛水的旋转圆筒，直径D1M，高H2M，静止时水深为H15M。求（1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度应控制在多大（2）当6RAD/S时，筒底G、C点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少DHHGC解（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为，则由0,RZH5，可推出自由水面（为一等压面）的方程22,DDXXYYZGPZ20GRZH根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得22200DG4DRDRHH由此可求得，带入自由表面方程得2016GHH22G8ZHR若使达到某一最大值而水不溢出，则有时，带入上式，得RDZH2G90154RADS488（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为2220GG16GRRDPHZHZ将G点条件带入得0,RZ22G1985450PA698DH同理，将C点条件带入得,0RZ22261G0981GP例题8如图所示为一圆柱形容器，直径为，高，容器内装水，水深为，使3MD5H30MH容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速。NHHO0HZR解如图所示，将坐标原点O放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为，则由0,RZH，可推出自由水面（为一等压面）的方程22,DDXXYYZGPZ2GZ根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得622200DG4DRRHH由此可求得，带入自由表面方程得2016GHH22G8DZHR若使达到某一最大值而水不溢出，将时，带入上式，得RDH22G9053167RADS88D301675NRMIN例9已知平面直角坐标系中的二维速度场。试求XTYTUIJ（1）迹线方程；DDXYZTU（2）流线方程；XYZ（3）时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度；0T（4）涡量（即旋度），并判断流动是否有旋。解（1）将代入迹线方程得,XYUTTDXYU,TT采用变量代换法解这个微分方程。令，则，代入上式，得XXTYYTXXTYYT，11DD1LN11TCTTCXTEAXET1CAE，22TTTYTTYBY2B于是得迹线的参数方程,XAEYBE其中，是积分常数（拉格朗日变数）。消掉时间，并给定即可得到以表示的流体质点的迹线方程。,ABT,A,X,A例如已知欧拉法表示的速度场，求流体质点的迹线方程，并说明迹线形状。2UIJ将代入迹线微分方程，得2,XYUDXYU,TT2,分离变量并积分，得12LNXTCY7从上两式中消去时间T得迹线方程12XYC即可见，该流场中流体质点的迹线为一双曲线。（2）将代入流线微分方程得,XYUTTDXYUDXYT将看成常数，积分上式得流线方程TLNLLNTTC或C（3）由质点导数的定义可得流动在X和Y方向的加速度分量分别为DXUUAT10XTYT1XTYYYYXTTTT所以，时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度为012DXATYTTUIJIJIJ（4）由涡量（旋度）的定义，对于题中所给的平面流动有0YXZUKK所以流动无旋。求速度势函数（一）利用势函数的全微分求由，得XU21D,XTFYTXTFYT又由，得，积分得YT,FTT21,FTTC于是，21XYTC求速度势函数（二）按势函数定义求,0,000,DDXXYYXYUTT21XYTC例题10已知速度场。23,6,XYZBBXU求证此流动是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。解平面流动0,ZU不可压缩60YXBX8无旋6YXUB求速度势函数（一）利用势函数的全微分求由，得XU2323DBXYXFBXYF又由，得，积分得6Y0FFC于是，32BXC求速度势函数（二）按势函数定义求（正确）,0,2,000,D3D6DXXYYXYUBBX32BXYC不能按三个独立的不定积分相加求（错误）2,XYXYY322XY例题11已知三维速度场。,XYZUZTTUT求证此流动是不可压缩流体的无旋流动，并求速度势函数。解不可压缩流体0YXZ，流动无旋YXUZTYZUXTXZUYT求速度势函数（一）利用势函数的全微分求由，得XUD,D,XUFYZTTXFYZTXTFYZT又由，得，可得YZTUX0,FYZT,FZTF于是，YTF求速度势函数（二）按势函数定义求（正确）,0,0,0000,DDDXXYXYZYXZYZTUUXTYZTF9不能按三个独立的不定积分相加求（错误）,DDD3XYZXYZTUUYTXZTYXTZYTF例12已知二维速度场为，。44Y（1）证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动；（2）求该二维流场的流函数；（3）证明该流动为势流；（4）求速度势函数。解（1）平面流动判定不可压缩流体平面流动的连续方程为0YXU由已知条件可求，可见速度分布满足连续方程。故可以表41XUY41YX示不可压缩流体的平面运动。（2）流函数的确定,Y按流函数定义和已知条件有14XUY2YX积分式1得32DFYF为确定函数，将式3对求偏导，并按流函数定义令其等于，即XFXYU44YYFUX由式4可以判定，积分求得F45CXFX2D其中为积分常数。C将式5代入式3，得22Y（3）有势流动判定判定流动是否为有势流有两种方法。方法一是直接利用速度场求旋度看其是否为零111440222YXZUYXY由此可以判定流动为有势流。方法二看流函数是否满足拉普拉斯方程（因为平面不可压缩势流同时存在流函数和势函数）2240YXUYXYXYX流函数满足拉普拉斯方程，流动为势流。（4）势函数,方法一按势函数定义和已知条件有4XUY61074YUX积分式6得821DXFYF为确定函数，将式8对求偏导，并按势函数定义式7令其等于，即FYYYU944YFUX由式9可以判定，积分求得F1021DYFC其中为积分常数。C将式10代入式8，得24XY方法二因已证明流动为有势流，则必然存在势函数，且和已知。可按势函数定义求XUY2,0,000DD4D4XXYXXYUC例13证明所表示的流动是势流，并求出该流动的速度势函数。2解1）判断流动是否为势流方法一14YXUXY40ZUX对于平面内的流动，说明流动无旋，所以是势流。X,Y0方法二，1X2X，4Y24220X流函数满足LAPLACE方程，所以流动是势流。平面不可压缩无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程。102,YXZXYU注1、不可压流体无旋流动的速度势函数满足LAPLACE方程2220XYZU112、不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足LAPLACE方程220YXUY2）因为4所以XYF又因为41XY所以，1FFYC于是4XX例14三维不可压缩流场中，且已知处，试求流场中的表达25XUZ23YUZ0ZZUZU式，并检验是否无旋解由连续方程得0YXZ2YZZXY积分得2ZUXC由处0得C00ZZU所以流场中的表达式为2ZXY由于，12YZX12XZY10YXZU可见，当时，该流体运动是无旋的；当时，该流体运动是有旋的。00Z例15已知二元流场的速度势为2（1）试求和，并检验是否满足连续条件和无旋条件。XUY（2）求流函数。解（1），2XYY由于，满足连续方程；由于，流动无旋。0YU102YXZU（2）由流函数的定义XUY2积分式得DYFXYFX将式对X求偏导，并令其等于，即，可得，YU2F0FFXC于是，流函数为XYC例16不可压缩流场的流函数为5（1）证明流动有势（2）并求速度势函数。12（3）求（1，1）点的速度。解（1）因为，5XUY5YUYX所以，即流动无旋，也即有势。02XZ（2）因为，5XU5YUY所以，DDDDXYXY对上式作不定积分得速度势函数25XYXYUCXY（3）由，得，（1，1）点的速度为5XU5YU，X5YU即,IJ例17已知，试求此流场中在，点处的线变形率、角变形率和角速度。2XUY2YU1X2解由，得X12Y线变形率为，4X4YU角变形率为21132422YXZUXY角速度为217YXZY例题18如图所示，有一水平放置的喷管水射流装置，由直管段和收缩形喷管组成，喷嘴与直管段的接头用螺栓连接。水流从喷嘴喷出，冲击到一块垂直平板上。已知喷管上游直管段的截面积，水的压强（表2150CMA14608PAP压，即相对于大气压的值），喷管出口截面积。若将射流视为不可压缩流体的稳态流动，且不计粘性和重力2230CMA的影响。试求（1）喷管与直管段接头处所受的拉力；（2）平板所受的水流的冲击力。2U3U2U233441U1X2AXRXF1A1P解建立如图所示的坐标系，取X轴所在的水平面为基准面；选取控制体，确定控制面；分析控制体受力假定喷管壁面对水的作用力在水平方向的分量为，沿X轴的负方向；垂直平板对射流的作用力为，沿X轴的负方向。F对11和22截面列伯努利方程，将已知条件，221PPUGZGZ120Z，（相对压强）代入伯努利方程，得4608PA0P（A）1113又由质量守恒方程，可得12UA（B）12联立求解（A）和（B）可得，。17MS1SU31206MSQ（1）针对11和22截面间的控制体，列X方向的动量方程211XRPA可求得喷管壁面对水流的作用力4114608503672156NXRPAQU为正值，说明喷管壁面对水流的作用力方向与初始假定的方向相同，水流对喷管壁面沿水平方向的作用力为的XXR反作用力，故有，即喷管与直管段接头处所受的拉力为576N。57NX（2）针对22、34和44截面间的控制体（该控制体周围的压强均为大气压强，故不考虑压强引起的作用力），列X方向的动量方程20XQUF可求得垂直平板对射流的作用力2136142NXFV为正值，说明垂直平板对射流的作用力方向与初始假定的方向相同，射流对垂直平板的作用力为的反作用XFXF力，故有。43NX例题19如图所示，将一平板放在自由水射流中，并垂直于射流的轴线，该平板截去射流的一部分，并引起射流其余1Q部分偏转角度。已知，（升/秒），。求射流对平板的作用力R及射12MSU42LSQ16LSQ流的偏转角（不计摩擦力及水的重量的影响，取水的密度）。30KGMQU1U1Q11222QUXXRY00解建立坐标系，选取控制体，确定控制面。分析受力（假定力的方向）由于不计摩擦力的影响，平板对射流只有沿垂直于平板方向的法向作用力（假设其方向向左），而沿平行于平板方向的切向摩擦力。XR0YR于是可列出X和Y方向的动量方程2COSXQU12IN0根据已知条件和连续性方程326M将其他已知条件带入，可以求得，1SIN3798516NXR射流对平板的作用力，方向5NXR向右。14例题20如图所示连续管系中的90渐缩弯管放在水平面上，管径，入口处水的平均流速15CMD275C，静压（计示压强）。如不计能量损失，试求支撑弯管在其位置所需的水平力125M/SU41680PAP1U2UXFYFFXFY,PA解由可得12UA212140M/SADUU对11和22两个过流截面列伯努利方程，可得2PGG2422168051075PAPU建立如图所示的坐标系，X坐标轴向右为正，Y坐标轴向上为正。取11、22截面和弯管内壁所包围的体积为控制体，假设弯管对控制体内水流的作用力为F，它沿X、Y方向的分量分别为，方向如图所示，则可分别列出X、Y方向的,XYF动量方程11220XYPAQU再利用连续性方程，则有1QU24320568517N4XFAP27108Y均为正值，说明其实际方向与假设的方向相同，即分别沿X、Y坐标轴的负方向。,XY弯管对控制体内水流作用力的合力F大小为222358436XY合力F的方向角（如图所示）为7ARCTNARCT051Y弯管受到水流的作用力是F的反作用力，二者大小相等，方向相反，即。F就本题而言，只需用X方向的动量方程求出，即可知道弯管受到水流沿水平方向的作用力，与大小相等、XXFX方向相反。例题21轴流式风机可采用如图3所示的集流器来测量流量，已知风机入口侧管道直径，U形管读数40MD,水与空气的密度分别为,，忽略流动的能量损失，求空气的体210MHOH310KGMW312KGA积流量。VQ15解针对在风机入口前断面11和U型管所在的风筒截面22列伯努里方程200APUG得2AU由静力学基本方程0WWPHPH带入上式，得12987403M/S2AUG空气的体积流量4358VDQ例题22如图所示，离心式水泵通过一内径的吸水管以的流量，从一个截面积远大于吸水150M360HVQ管截面积的敞口水池中吸