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自动控制理论B,王玮控制与计算机工程学院控制理论与系统教研室主楼E1016Email:wwang,第5章频率特性,时域响应:解析法求解繁琐;高阶系统更困难,有些甚至难以列写微分方程;高阶系统,关系难以确定,改善途径难以确定。频域法:频率特性作为数学模型,频率特性图形。,自动控制理论B王玮,2,频率特性,概念:线性系统在一个正弦输入信号作用下,其稳态输出为同频率的正弦信号。将稳态输出正弦信号与输入信号的振幅之比称为系统的幅频特性,它描述了系统在稳态下,响应不同频率正弦输入时幅值的衰减或放大特性。,自动控制理论B王玮,3,频率特性,将稳态输出与输入的相位差称为系统的相频特性,它描述了系统在稳态下,响应不同频率正弦输入时在相位上产生的超前或滞后。采用复数中的模和辐角表示振幅比和相位差,称为系统的频率特性。,自动控制理论B王玮,4,频率特性,自动控制理论B王玮,5,输入:输出:幅频特性:相频特性:频率特性:,包含了幅值比、相位差,即幅相频率特性,简称幅相特性。,频率特性,自动控制理论B王玮,6,频率特性与传递函数之间的关系:用j代替系统或环节传递函数G(s)中的s,所得到的的复函数便是相应的频率特性G(j)。幅相特性即G(j)的模,相频特性即G(j)的角。即:,如何证明?,频率特性,频率特性G(j)就是s=j这一特定条件下的传递函数,频率特性即为频率传递函数。频率特性表示了稳定系统在正弦信号输入下其稳态输出与输入之间的关系。,自动控制理论B王玮,7,举例,自动控制理论B王玮,8,频率特性,说明:不稳定系统的频率特性无法通过实验测取,无实际的物理意义。频率特性包含了系统或环节的全部动态结构和参数,它与微分方程、传递函数都是描述系统(环节)的动态数学模型。对于难用解析方法建立微分方程的被控对象(元件),可通过实验测取频率特性,进而获取传递函数或微分方程。,自动控制理论B王玮,9,频率特性,自动控制理论B王玮,10,频率特性,优点:并非从函数表达式进行分析,可以用图像表示。幅相频率特性(Nyquist)曲线对数频率特性曲线图(Bode图)对数幅相特性(Nichols)曲线,自动控制理论B王玮,11,频率特性,自动控制理论B王玮,12,Nyquist曲线当频率从0+变化时,在极坐标系G(j)的模与辐角随的变化曲线。即频率从0+变化时,矢量G(j)的端点轨迹。实部、虚部分别称为实频特性和虚频特性。,频率特性,自动控制理论B王玮,13,举例:一阶惯性环节的幅相频率特性曲线:,频率特性,对数频率特性(Bode)对数幅频特性对数相频特性应用最多,自动控制理论B王玮,14,频率特性,自动控制理论B王玮,15,对数幅频特性横坐标采用对数分度,单位rad/s。幅频纵坐标:幅频特性的对数幅值,线性分度,单位分贝(dB)相频纵坐标:相频特性的相角值,线性分度,单位()。频率每变化10倍,称为10倍频程(dec),横坐标距离为1个单位长度。,分贝,分贝(decibel)是量度两个相同单位之数量比例的计量单位,主要用于度量声音强度,常用dB表示。“分”(deci-)指十分之一,个位是“贝”(bel),一般只采用分贝。分贝是以美国发明家亚历山大格雷厄姆贝尔的名字命名的。1、表示功率量之比的一种单位,等于功率强度之比的常用对数的10倍。2、表示场量之比的一种单位,等于场强幅值之比的常用对数的20倍。,自动控制理论B王玮,16,举例,自动控制理论B王玮,17,频率特性,优点:利用对数运算可以将频率特性的幅值乘除运算转化为对数幅频特性的加减运算,极大地简化了运算和作图。拓宽了频率视界,能够在一张图上清楚地画出系统频率范围很宽的特性曲线。可以用分段直线(渐近线)绘制近似的对数幅频特性,简化了频率特性的计算和绘制。,自动控制理论B王玮,18,频率特性,对数幅相特性(Nichols)曲线:为参变量,横轴为线性分度的相频特性,纵轴为线性分度的对数幅频特性。即将bode图的两条曲线合并为同一条直线。可求闭环系统的频率特性及其特征量,进而分析闭环系统的相关特性。,自动控制理论B王玮,19,5.2典型环节的频率特性,开环传递函数由若干个典型环节组成。闭环系统的性质一般可由开环频率特性曲线上获得。典型环节的幅相频率特性曲线、对数频率特性曲线。,自动控制理论B王玮,20,比例、积分微分环节的Nyquist、Bode图,自动控制理论B王玮,21,自动控制理论B王玮,22,比例、积分微分环节的Nyquist、Bode图,一阶微分、一阶惯性环节,自动控制理论B王玮,23,关注转折频率处的幅值修正!,二阶微分、二阶振荡环节,自动控制理论B王玮,24,注意:曲线特征转折频率处的修正规则两个特征点数据,纯迟延环节,自动控制理论B王玮,25,不稳定环节,自动控制理论B王玮,26,关注图形所在象限的确定规则!,最小相位系统与非最小相位系统,最小相位系统:不含有不稳定环节。非最小相位系统:含有不稳定环节。最小相位系统最重要的性质:对数幅频特性和对数相频特性之间存在唯一的对应关系。即由系统的对数幅频特性可以唯一确定其相应的相频特性和传递函数。,自动控制理论B王玮,27,5.3控制系统的开环频率特性,开环系统总是由若干典型环节组成的。,自动控制理论B王玮,28,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,29,开环幅频特性:开环相频特性:,开环幅频特性等于各环节的幅频特性之积。,开环相频特性等于各环节的相频特性之和。,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,30,开环传递函数,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,31,最小相位系统的Nyquist绘制(1)起始段:取决于开环传递函数型别与开环增益K:0型系统:起始于实轴上点(K,j0);=1、2、3时,分别起始于-90、-180、-270的无穷远处。(2)终止段:由分子与分母的阶次差(n-m)决定:开环零极点数相等时,终止于实轴;nm时,曲线沿-(n-m)*90收敛于坐标原点。,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,32,最小相位系统的Nyquist绘制(3)特殊点计算:与实轴的交点坐标的计算与虚轴交点坐标的计算,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,33,最小相位系统的Nyquist绘制(4)如果开环传递函数中不含有零点,即m=0,当m从0+变化时,开环频率特性的幅值连续衰减,相角连续减小,其特性曲线为一条连续的平滑曲线;反之,则随零点对应的时间常数值不同,在某些频段范围内相角会出现正增量,幅值也可能放大,即开环频率特性的相角不再沿同一方向连续变化,特性曲线会出现凹凸状。,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,34,应用举例:,关注:1)起点、终点、图形所在象限;2)相位随呈滞后还是超前特性、幅值随增加还是减小。,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,35,应用举例:,关注:1)起点、终点、图形所在象限;2)相位随呈滞后还是超前特性、幅值随增加还是减小。,举例,自动控制理论B王玮,36,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,37,开环对数频率特性Bode曲线的绘制系统的开环对数幅频特性和相频特性分别为其组成环节对数幅频特性与相频特性的叠加。首先绘制各典型环节的bode图,再把纵坐标叠加。,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,38,举例:绘制系统的开环幅相频率特性曲线。,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,39,小结:起始段:取决于:=0,则起始段为平行于实轴的直线,高度为20lgK;0,则起始段为斜线,过(=1,L=20lgK),斜率为-20。起始段的延长线与0dB线的交点,对于I型系统,=K、II型系统=K1/2。随着的增加,每遇到一个转折频率,斜率就发生一次变化。,控制系统的开环频率特性,自动控制理论B王玮,40,步骤:(1)将开环传递函数转化为各典型环节串联的标准型式,进而确定开环增益K;(2)计算各转折频率,并按大小顺序依次标在横轴上;(3)在=1处,幅值为20lgK,即A(=1,20lgKdB);(4)通过A点,绘制斜率为-20dB的直线,直至第一个转折频率1,得到幅频特性的低频渐近线,若10,()对-180线的正负穿越次数之差为p/2。否则,不稳定,z=p-2(a-b)。,自动控制理论B王玮,63,5.4频率特性的稳定判据,伯德图上的奈氏判据:若开环传递函数中含有个积分环节,则将()中的最左端视为=0+处,由下向上绘制90辅助线,找到=0时()的起点,由此可确定穿越情况。特例:零极点对消情况。,自动控制理论B王玮,64,5.5控制系统的相对稳定性,控制系统的相对稳定性:系统离开稳定边界的程度;频域:奈奎斯特曲线与(-1,j0)点的相对位置来判断稳定性。曲线离(-1,j0)越远,稳定程度越高。幅值裕量相角裕量,自动控制理论B王玮,65,5.5控制系统的相对稳定性,相角裕量在剪切频率c处,开环频率特性矢量与负实轴的夹角。以表示:其基本含义是:在剪切频率处使系统达到临界稳定状态所需要附加的相角滞后量。越大,相对稳定性越好。,自动控制理论B王玮,66,5.5控制系统的相对稳定性,0,(c)-180,不包含(-1,j0)点,系统稳定;=0,(c)=-180,正好通过(-1,j0)点,临界稳定;若0,则(c)-180,说明包围(-1,j0)点,系统不稳定。,自动控制理论B王玮,67,在伯德图上,L(c)=0dB,即在剪切频率c处过0dB线时(c)与-180的距离即相角裕量。,5.5控制系统的相对稳定性,幅值裕量相角穿越频率:Nyquist曲线与负实轴相交时对应的频率g,角Gk(jg)=(2k+1)。在相角穿越频率g处,开环幅频特性的倒数即为幅值裕量,以Kg表示,即其含义为:在相角穿越频率处,使闭环系统系统达到临界稳定状态,需将开环幅相特性增大或减小的倍数。,自动控制理论B王玮,68,5.5控制系统的相对稳定性,幅值裕量若Kg1,Gk(j)不包围(-1,j0)点,闭环系统稳定;若Kg=1,Gk(j)通过(-1,j0)点,临界稳定;若Kg1,Gk(j)包围(-1,j0)点,闭环系统不稳定;在伯德图上,幅值裕量用Kg(dB)表示,即:,自动控制理论B王玮,69,5.5控制系统的相对稳定性,注意适用条件:最小相位系统。,自动控制理论B王玮,70,5.5举例,绘制奈奎斯特曲线,计算幅值裕量,分析稳定性。,自动控制理论B王玮,71,5.6开环频率特性与闭环时域指标关系,三个频段:低频、中频、高频。低频:稳态性能;中频:暂态性能;高频:抗干扰能力。,自动控制理论B王玮,72,5.6开环频率特性与闭环时域指标关系,低频段:积分环节开环增益确定方法稳态误差要小,自动控制理论B王玮,73,5.6开环频率特性与闭环时域指标关系,中频段:c附近频率指标:c和。稳定性、快速性。斜率为-20dB/dec,且频段范围较宽,近似认为是一阶系统,无振荡,超调为0,较稳定,调节时间ts=3T=3/c,c越高,ts越小,快速性越好。斜率为-40dB/dec,且频段范围较宽,相当于0阻尼的二阶系统,临界稳定,持续震荡。中频段频率小于-40dB/dec,难以稳定;通常取-20dB/dec。,自动控制理论B王玮,74,5.6开环频率特性与闭环时域指标关系,中频段:和时域指标%都是阻尼比的函数,二者存在确定的关系,且越大,%越小。相角裕量是频域中的平稳性指标。若确定,那么ts与c成反比。c可反映系统响应的快速性,是快速性指标。高阶系

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