高等数学第四讲(4学分)

1,第一章,1、和差积商的极限等于极限的和差积商,第三讲主要内容回顾：,2、复合函数极限的运算法则,3、分式函数的极限：,2,x趋于无穷大时，分式函数的极限：,为非负常数),3,4、两个重要的极限,5、无穷小量的阶：重点掌握等价无穷小,6、求极限时的等价无穷小因式代替规则:,4,第四节,函数的连续性,第一章,5,函数,在点,4.1、连续函数的概念,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,1、函数在点x0处连续的概念,6,若x0不是函数的连续点，则称x0是函数的间断点，函数在此点是间断的。,7,考察函数,讨论,处,的连续性.,解:,因为,不存在.,所以上述函数在0处不连续。,8,自变量在x0的增量,函数在点x0的增量：,函数,在点,连续有下列等价命题:,函数在x0处连续的增量定义,9,结论：函数在x0处连续的充要条件是函数在此点处的增量是无穷小。,10,函数在点x0处单侧连续,左连续：,右连续：,函数在点x0处连续的充要条件是函数在此点既左连续又右连续。,11,例：设函数,问：当a取何值时，函数在1处连续？,解：,12,函数在区间连续的概念,若,在某开区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,13,证明：,在,上连续.,证明：有理分式函数,在其定义域内连续.,14,函数在闭区间上连续,函数在a,b连续指：函数在右端点处左连续，而在左端点处右连续及相应的开区间连续。,15,在,在,函数的间断点（不连续点）：,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,设,在点,的某去心邻域内有定义,符合上述情形之一的点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为函数的间断点.,在,无定义;,16,例：x=1/2是函数,的间断点,例：考察x=0是不是符号函数,的间断点。,17,间断点分类:,第一类间断点:左右极限都存在的间断点。,若,称,第二类间断点:左右极限至少有一个不存在的间断点。,为可去间断点.,无穷间断点:属于第二类间断点。,或,若,称,为跳跃间断点.,18,显然,为其可去间断点.,考察y=tanx的间断点,19,4.2,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,20,定理2.连续单调递增(递减)函数的反函数也连续单调递增(递减).,一、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,(证明略),21,在,上连续单调递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,因为,在其定义域内连续,因为,因为,在,上连续单调递增，,其反函数,在1,1上也连续单调递增.,结论：基本初等函数在其定义域内连续,22,函数f(u)在u0连续，则,若函数g(x)在x0连续，,连续函数的复合运算法则,23,例如,是由连续函数,因此,在,上连续.,复合而成,24,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点处单侧连续),的连续区间为,求初等函数的连续区间只要求定义域即可。,25,利用连续性求极限,例：求,26,4.3,闭区间上连续函数的性质,第一章,27,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断点,在该区间上一定有最大,(证明略),28,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,29,推论.,二、介值定理,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,30,中间值定理,设,且,则对A与B之间的任一数C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,31,例.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,32,1、求下列数列的极限,习题选讲,33,2、求下列函数