数学试题分类汇编江苏卷

2010年数学试题分类汇编江苏卷一、填空题1、设S为复数集C的非空子集若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命X,YSXY,题集合SABI|（为整数，为虚数单位）为封闭集；,BI若S为封闭集，则一定有；0S封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集TCT其中真命题是（写出所有真命题的序号）2、设集合A1,1,3，BA2,A24,AB3，则实数A_3、（本小题满分12分）设A为实数，函数2,XFEAR。求FX的单调区间与极值；求证当LN21A且0X时，21XEA。4、（本小题满分16分）设XF是定义在区间,1上的函数，其导函数为XF。如果存在实数A和函数XH，其中H对任意的,都有XH0，使得12AHF，则称函数F具有性质AP。1设函数XF2LN1B，其中B为实数。I求证函数具有性质P；II求函数XF的单调区间。2已知函数XG具有性质2。给定1212,X设M为实数，21M，M，且，若|06和GX2COS1的图象的对称轴完全相同。若X0,2，则的取值范围是。25、观察下列等式COS2A22COSA1COS4A84821COS6A326CS484S182COSA1COS8A1288OA25661604322COSA1COS10AM10CS12808CS11206N4P2S1可以推测，MNP26、已知为第三象限的角，3COS25,则TAN2427、定义在区间20,上的函数Y6COSX的图像与Y5TANX的图像的交点为P，过点P作PP1X轴于点P1，直线PP1与YSINX的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_。28、已知为第二象限的角，3SIN5A,则T2四、解答题29、（本小题满分12分）设ABC是锐角三角形，,ABC分别是内角,ABC所对边长，并且22SINISINSIN3B。求角的值；若1,7ABCA，求,BC（其中C）。30、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H单位M），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度H4M，仰角ABE，ADE。1该小组已经测得一组、的值，TAN124，TAN120，请据此算出H的值；2该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离D（单位M），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125M，试问D为多少时，最大五、填空题31、在等比数列NA中,若公比Q4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式NA32、函数YX2X0的图像在点AK,AK2处的切线与X轴交点的横坐标为AK1,K为正整数，A116，则A1A3A5_33、设AN是等比数列，公比2Q，SN为AN的前N项和。记217,NSTNA设0NT为数列NT的最大项，则0。34、若数列NA满足对任意的NN，只有有限个正整数M使得AN成立，记这样的M的个数为N，则得到一个新数列A例如，若数列NA是1,23,，则数列NA是0,12,，已知对任意的，则5，NA六、解答题35、（本小题满分16分）设各项均为正数的数列NA的前N项和为NS，已知312A，数列NS是公差为D的等差数列。（1）求数列N的通项公式（用D,表示）；（2）设C为实数，对满足NMK且3的任意正整数KNM,，不等式KNMCS都成立。求证的最大值为29。七、填空题36、在平面直角坐标系XOY中，双曲线124YX上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_37、已知椭圆21XCY的两焦点为12,F,点0,PXY满足201XY,则|1PF|2|的取值范围为_，直线0与椭圆C的公共点个数_。38、若双曲线2X4YB1B0的渐近线方程式为Y1X2，则等于。39、已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且B2DUR，则的离心率为八、解答题40、（本小题满分10分）在平面直角坐标系XOY中，已知点A0,0，B2,0，C2,1。设K为非零实数，矩阵M10K,N01，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求K的值。解析本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。41、（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆2COS与直线3COS4SINA0相切，求实数A的值。解析本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。42、（本小题满分10分）设A、B是非负实数，求证32ABAB。解析本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。43、选做题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。ABOCAD（本小题满分10分）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DADC，求证AB2BC。以下是答案一、填空题1、解析直接验证可知正确当S为封闭集时，因为XYS，取XY，得0S，正确对于集合S0，显然满足素有条件，但S是有限集,错误取S0，T0,1，满足,但由于011T，故T不是封闭集，错误TC2、1解析考查集合的运算推理。3B,A23,A13、4、解析本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。（1）IFX22111BXB时，201HX恒成立，函数F具有性质BP；II（方法一）设222114BXX，X与F的符号相同。当210,4B时，0，F，故此时在区间,1上递增；当时，对于X，有XF，所以此时XF在区间,上递增；当2B时，图像开口向上，对称轴12B，而0，对于1X，总有X0，XF，故此时XF在区间,1上递增；（方法二）当时，对于1，22210BX所以XF，故此时XF在区间,上递增；当2B时，图像开口向上，对称轴2，方程X的两根为224,BB，而222441,0,14BBB当21,X时，X0，XF，故此时XF在区间24,B上递减；同理得F在区间24,B上递增。综上所述，当时，XF在区间,1上递增；当2B时，在24,B上递减；XF在24,B上递增。2（方法一）由题意，得1GXHH又XH对任意的,1都有0，所以对任意的都有0X，G在,上递增。又1212,XM。当,M时，且1212,XMXXM，综合以上讨论，得所求M的取值范围是（0，1）。（方法二）由题设知，GX的导函数21GXHX，其中函数0HX对于任意的,1X都成立。所以，当时，0，从而G在区间,1上单调递增。当0,1M时，有1211MXXMX，2X，得2,，同理可得12,X，所以由GX的单调性知G、12,GX，从而有|0，所以MF20，故正确；经分析，容易得出也正确。【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。9、二、解答题10、（1）证明因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD900，得CDBC，又PDDCD，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因为PC平面PCD，故PCBC。（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PDDC，PFFC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF2，故点A到平面PBC的距离等于2。（方法二）体积法连结AC。设点A到平面PBC的距离为H。因为ABDC，BCD900，所以ABC900。从而AB2，BC1，得BC的面积1ABCS。由PD平面ABCD及PD1，得三棱锥PABC的体积133ABCVSPD。因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PDDC1，所以2PCD。由PCBC，BC1，得B的面积2PBCS。由APBCAV，1133PCSHVA，得H，故点A到平面PBC的距离等于2。11、（1）（方法一）由题设知3,51,ABC，则2,64ABC所以|210,|42ABCABC故所求的两条对角线的长分别为、10。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC2、AD0；（2）由题设知O2,1，3,5BTOCT。由CTAB0，得3,51，从而51,所以15T。或者2OT，3,AB25|OCT12、1）（方法一）由题设知,51,，则2,64ABCAB所以|10,|2C故所求的两条对角线的长分别为、10。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC2、AD0；（2）由题设知O2,1，3,5BTOCT。由CTAB0，得3,51，从而51,所以15T。或者2OT，3,AB25|OCT三、填空题13、解析考查圆与直线的位置关系。圆半径为2，圆心（0，0）到直线12X5YC0的距离小于1，的取值范围是（13，13）。|3C14、【解析】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知XYM0A,0，解得或1，又因为圆心在X轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），22|A1A3因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为。303XY30【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。15、解析考查流程图理解。24131,输出25163S。16、1412【解析】程序运行如下1,24,56,89,10,2XXXX,输出12。【规律总结】这类问题，通常由开始一步一步运行，根据判断条件，要么几步后就会输出结果，要么就会出现规律，如周期性，等差或等比数列型17、54【解析】当X10时，Y1042，此时|YX|6；当X4时，Y，此时|YX|3；当X1时，Y12，此时|YX|32；当X12时，Y514（），此时|YX|34，故输出Y的值为54。【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图能力。18、19、【答案】04【解析】由表格可知0139,780193089XYXY联合解得4Y20、0128【解析】由题意知，所求概率为245C0818。【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。21、3162P解析考查古典概型知识。22、【解析】易见123,A是两两互斥的事件，而2352439|10102PBPBA。【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键本题在123,A是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化123|PBAPBA，可知事件B的概率是确定的23、解（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，3，且P（X10）0809072，P（X5）0209018，P（X2）0801008，P（X3）0201002。由此得X的分布列为X10523P072018008002（2）设生产的4件甲产品中一等品有N件，则二等品有4N件。由题设知410N，解得145N，又N，得3，或。所求概率为44820892PC答生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为08192。24、3,2【解析】由题意知，2，因为X0,2，所以5X,6，由三角函数图象知FX的最小值为3SIN6，最大值为SIN3，所以F的取值范围是3,2。25、962【解析】因为12,38,52,718,所以9251M；观察可得40N，50P，所以MNP962。【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。26、27、解析考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为SINX的值，且其中的X满足6COSX5TANX，解得SINX23。线段P1P2的长为328、247【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能【解析】因为为第二象限的角,又3SIN5,所以4COS5，SIN3TACO4,所2TAN4TAN17四、解答题29、30、解析本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1）TANTANHHAD，同理TANHAB，TANHD。ADABDB，故得TTH，解得4124TT0。因此，算出的电视塔的高度H是124M。（2）由题设知DAB，得TAN,THHDADBD，2TATAN1T1HH2HHDH，（当且仅当152DHH时，取等号）故当5时，TAN最大。因为02，则02，所以当时，最大。故所求的D是M。五、填空题31、N14【解析】由题意知11462A，解得1A，所以通项NA14。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前N项和公式的应用，属基础题。32、解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点AK,AK2处的切线方程为2,KKYAXA当0Y时，解得2KAX，所以1135,641KA。33、4【解析】本题主要考查了等比数列的前N项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。2112721176NNNNAAT62171NN因为62NN8，当且仅当2N4，即N4时取等号，所以当N04时TN有最大值。【温馨提示】本题的实质是求TN取得最大值时的N值，求解时为便于运算可以对N进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解34、六、解答题35、解析本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知0D，11NSDAND21323213AASS，22111,ADAD化简，得210,DAD2,NNSD，当2时，22111NASND，适合1N情形。故所求2（2）（方法一）2222MNKSCDNCKDMNCK，2MNK恒成立。又且3，22299，故92C，即的最大值为9。（方法二）由1AD及1NSAD，得0，2NSD。于是，对满足题设的KM,，有22229MNKSDDS。所以C的最大值MAX9。另一方面，任取实数2。设K为偶数，令31,2MKN，则KNM,符合条件，且2223194MNSDD。于是，只要2294KA，即当KA时，2MNKSAS。所以满足条件的C，从而MAX9C。因此的最大值为2。七、填空题36、D2，MF4。解析考查双曲线的定义。42MFED，D为点M到右准线1X的距离，D2，MF4。37、2,0【解析】依题意知，点P在椭圆内部画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时12MAX|PF，当P在椭圆顶点处时，取到12MAX|F为212，故范围为,因为0,Y在椭圆21XY的内部，则直线00XY上的点（X,Y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个38、1【解析】由题意知12B，解得B1。【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。39、3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径【解析1】如图，2|BFBCA,XO