概率论和数理统计期末考试题库

第1页，共47页数理统计练习一、填空题1、设A、B为随机事件，且PA05，PB06，PBA08，则PAB_07_。2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为，则此射手的命中率。810323、设随机变量X服从0，2上均匀分布，则1/3。2XED4、设随机变量服从参数为的泊松（POISSON）分布，且已知1，则2XE_1_。5、一次试验的成功率为，进行100次独立重复试验，当1/2_时PP，成功次数的方差的值最大，最大值为25。6、（X，Y）服从二维正态分布，则X的边缘分布为。,21N,21N7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则EX。其他,00,23,2YXYXF348、随机变量X的数学期望，方差，K、B为常数，则有；EX2DXBK,KB。BKD29、若随机变量XN2，4，YN3，9，且X与Y相互独立。设Z2XY5，则ZN2,25。10、的两个无偏估计量，若，则称比有效。是常数21,21D121、设A、B为随机事件，且PA04,PB03,PAB06，则P_03_。BA2、设XB2,P，YB3,P，且PX1，则PY1。9527193、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y3X2,则EY4。第2页，共47页4、设随机变量X服从0,2上的均匀分布，Y2X1，则DY4/3。5、设随机变量X的概率密度是，且，则06。其他0132XXF7840P6、利用正态分布的结论，有1。DXEX22417、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则EY3/4其他,010,223,YXYXF。8、设（X，Y）为二维随机向量，DX、DY均不为零。若有常数A0与B使，则X与Y的相关系数1。1BAPX9、若随机变量XN1，4，YN2，9，且X与Y相互独立。设ZXY3，则ZN2,13。10、设随机变量XN1/2，2，以Y表示对X的三次独立重复观察中“”出现的次数，2/1则3/8。2YP1、设A，B为随机事件，且PA07，PAB03，则06。BAP2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，则密码能被译出的61,345概率是11/24。5、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则6。423XP第3页，共47页6、设随机变量XN1,4，已知0506915，1509332，则06247。2XP7、随机变量X的概率密度函数，则EX1。12XEXF8、已知总体XN0,1，设X1，X2，XN是来自总体X的简单随机样本，则。NII12X9、设T服从自由度为N的T分布，若，则。TPTP2A10、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则EX4/3。其他,010,YXYXF1、设A，B为随机事件，且PA06,PABP,则PB04。A2、设随机变量X与Y相互独立，且，则PXY_05_。501X501Y3、设随机变量X服从以N,P为参数的二项分布，且EX15，DX10，则N45。4、设随机变量，其密度函数，则2。,2N6421XEXF5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX0都存在，令，则DY1XEY/。6、设随机变量X服从区间0，5上的均匀分布，Y服从的指数分布，且X，Y相互独立，5则X,Y的联合密度函数FX,Y。其它00,5YXEY7、随机变量X与Y相互独立，且DX4，DY2，则D3X2Y44。8、设是来自总体XN0,1的简单随机样本，则服从的分布为。N,21NII1212NX第4页，共47页9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为，则目标能被击31,45中的概率是3/5。10、已知随机向量X,Y的联合概率密度，其它00,1,4,2YXEYXFY则EY1/2。1、设A,B为两个随机事件，且PA07,PAB03，则P_06_。AB2、设随机变量X的分布律为，且X与Y独立同分布，则随机变量ZMAXX,Y的210PX分布律为。4310PZ3、设随机变量XN2，且P2P2DP1与P2的关系无法确定5、设随机变量X的密度函数为FX，则Y75X的密度函数为（B）171AB55CDYYFF1、对任意两个事件和，若，则（D）。A0APABCDABBBAPB2、设、为两个随机事件，且，则必有（B1010P|）。ABCD、互不|BAPBAPBPAA相容3、设为标准正态分布函数，X且，相互独立。令，10,2,0A,1IXI否则，发生事件07PA1021X，10IIXY则由中心极限定理知的分布函数近似于（B）。YYFABCDY721Y70721Y4、已知随机变量和相互独立，且它们分别在区间1，3和2，4上服从均匀分布，则XY（A）。YEA3B6C10D125、设随机变量XN，9，YN，25，记，则（B）。5,321YPXPP第16页，共47页AP1P2DP1与P2的关系无法确定1、设两个随机事件相互独立，当同时发生时，必有发生，则（A）。,A,AAABCD21P21PA21P21P2、已知随机变量的概率密度为，令，则Y的概率密度为（A）。XXFX3XYYFYABCD231YFX231YFX231YFX231YFX3、两个独立随机变量，则下列不成立的是（C）。Y,ABCDEYEYDYDY4、设为标准正态分布函数，且，X10,2,0A,1IXI否则，发生事件09PA相互独立。令，则由中心极限定理知的分布函数近似于（1021X，1IIYYYFB）。ABCDY903Y90Y90Y5、设总体X的数学期望EX，方差DX2，X1，X2，X3是来自总体X的简单随机样本，则下列的估计量中最有效的是（B）123123A4433CD556XX1、若事件两两独立，则下列结论成立的是（B）。321,A第17页，共47页A相互独立B两两独立321,A321,ACD相互独立321APP,2、连续型随机变量X的密度函数FX必满足条件（C）。A01BCDLIM1XFXDF在定义域内单调不减3、设是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分21,X1XF2F布函数分别为和，则（B）。1XF2A必为密度函数B必为分布函数21XFF21XFC必为分布函数D必为密度函数FF4、设随机变量X,Y相互独立，且均服从0，1上的均匀分布，则服从均匀分布的是（B）。AXYB（X,Y）CXYDXY5、设为标准正态分布函数，X且，相互独立。令，则由中,2,10,1NIXI否则，发生事件PAP12NX，1NIIYX心极限定理知的分布函数近似于（B）。YYFABCDY1YPNYNP1YPN三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2，2，4。若在第18页，共47页市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少解设表示产品由第I家厂家提供，I1,2,3；B表示此产品为次品。IA则所求事件的概率为1111112233|PABPABPAB1020424答该件商品是第一产家生产的概率为04。三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25、35、40，次品率分别为003、002、001。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少解设，表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。1A23（1）所求事件的概率为112233|PAPBAPBA02530240185（2）21|035|8AB答这件产品是次品的概率为00185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为038。三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是03，加工零件B时停机的概率是04。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发生停机的概率。解设，表示机床在加工零件A或B，D表示机床停机。1C2第19页，共47页（1）机床停机夫的概率为1122|PBCDPA1210340（2）机床停机时正加工零件A的概率为11103|1PCD三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为532，各机床所加工的零件合格率依次为94，90，95。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。解设，表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分）1A23则所求事件的概率为11113|IIIPABPAB10632053057答此废品是甲机床加工概率为3/7。三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5、15、30、50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100、70、60、90。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。（10分）解设，分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误期到1A234A达。第20页，共47页则222241|IIIPABPAB015302905451答此人乘坐火车的概率为0209。三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5、15、30、50，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100、70、60、90。求该人如期到达的概率。解设，分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到1A234A达。则41|IIIPBAPB051073605978答如期到达的概率为0785。四（1）设随机变量X的概率密度函数为,01AXF，其它求（1）A；（2）X的分布函数FX；（3）P05025。解10213/2FXDAXA3/23202011XXXXFFTDTFT（）当时，当时，当时，3/20,1,FXX故3P（X1/4）1F1/47/8四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为其它,0,2AXXF求（1）A；（2）分布函数FX；（3）P050时，FZZPZZPMAXX,YZPXZ,YZPXZPYZ。DYEXZZ001ZZE因此，系统L的寿命Z的密度函数为FZZ00,ZEEZFDZZZ五（2）、已知随机变量XN（0，1），求随机变量YX2的密度函数。解当Y0时，FYYPYYPX2Y0；当Y0时，FYYPYYPX2YYDXEDXEYY2/02/11因此，FYY00,2/YYFDYY五（3）、设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2串联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。,解令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命ZMINX,Y。显然，当Z0时，FZZPZZPMINX,YZ0；当Z0时，FZZPZZPMINX,YZ1PMINX,YZ1PXZ,YZ1PXZPYZ。DYEXZZZE1第27页，共47页因此，系统L的寿命Z的密度函数为FZZ00,ZEZFDZ五（4）、已知随机变量XN（0，1），求Y|X|的密度函数。解当Y0时，FYYPYYP|X|Y0；当Y0时，FYYPYYP|X|YYDXEDXEY2/02/11因此，FYY00,2/YFDY五（5）、设随机向量（X，Y）联合密度为FX,Y,00,32其它YXAEYX（1）求系数A；（2）判断X，Y是否独立，并说明理由；（3）求P0X2，0Y1。解（1）由1DYEXADXYEADXYF0302320,63200EEAYX可得A6。（2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为第28页，共47页FXX和FYY，,02其它XE,03其它YE则对于任意的均成立FX,YFXXFYY，所以X与Y独立。,2RYX（3）P0X2，0Y1DYEXDEYX10320320163410302EYX五（6）、设随机向量（X，Y）联合密度为FX,Y,00,43其它YXAEYX（1）求系数A；（2）判断X，Y是否独立，并说明理由；（3）求P0X1，0Y1。解（1）由1DYEXADXYEADXYF0403430,可得A12。,124300EAYX（2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为FXX和FYY，,03其它XE,04其它YE则对于任意的均成立FX,YFXXFYY，所以X与Y独立。,2RYX（3）P0X1，0Y1DYEXEDEYX0403431024310403EYX第29页，共47页五（7）、设随机向量（X，Y）联合密度为FX,Y,016其它YX（1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度FXX，FYY；（2）判断X，Y是否独立，并说明理由。解（1）当X1时，FXX0；当0X1时，FXX16,1XDYYFX因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度FXX,0,1,2其它X当Y1时，FYY0；当0Y1时，FYY3|6,2020YXDXFY因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度FYY,12其它（2）因为F1/2,1/23/2，而FX1/2FY1/23/23/49/8F1/2,1/2，所以，X与Y不独立。五（8）、设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为FX,Y,0其它YXEY（1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度FXX，FYY；（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由。解（1）当X0时，FXX0；第30页，共47页当X0时，FXX,XXYEDYF因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度FXX,0,其它X当Y0时，FYY0；当Y0时，FYY,0YYEDXXF因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度FYY,0,其它Y（2）因为F1,2E2，而FX1FY2E12E22E3F1,2，所以，X与Y不独立。五（9）、设随机变量X的概率密度为其它,0XEXF设FX是X的分布函数，求随机变量YFX的密度函数。解当Y1时，FYYPYYPFXY1；当0Y1时，FYYPYYPFXY1YFP1因此，FYY0,其它YYFDY五（10）、设随机向量（X，Y）联合密度为第31页，共47页FX,Y,018其它YX（1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度FXX，FYY；（2）判断X，Y是否独立，并说明理由。解（1）当X1时，FXX0；当0X1时，FXX14|8,221XYXDYFX因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度FXX,0,3其它当Y1时，FYY0；当0Y1时，FYY4|8,3020YXYDXF因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度FYY,13其它（2）因为F1/2,1/22，而FX1/2FY1/23/21/23/4F1/2,1/2，所以，X与Y不独立。六（1）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为769求随机向量（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵。解DXYDXDY2COVX,Y792628DXYDXDY2COVX,Y79264COVXY,XYDXDY792第32页，共47页2814,YXDCOVYX所以，（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和284128六（2）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为921求随机向量（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵。解DXYDXDY2COVX,Y912214DXYDXDY2COVX,Y91226COVXY,XYDXDY918214618,YDCOV所以，（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和1486412六（3）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为96求随机向量（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵。解DXYDXDY2COVX,Y962627DXYDXDY2COVX,Y96263COVXY,XYDXDY9633127,YXDCOV第33页，共47页所以，（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和27313六（4）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为459求随机向量（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵。解DXYDXDY2COVX,Y492523DXYDXDY2COVX,Y49253COVXY,XYDXDY49569532,YXDCOV所以，（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和23515169六（5）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为14求随机向量（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵。解DXYDXDY2COVX,Y14217DXYDXDY2COVX,Y14213COVXY,XYDXDY1432137,YXDCOV第34页，共47页所以，（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为和73312求随机向量（XY，XY）的协方差矩阵与相关系数矩阵。解DXYDXDY2COVX,Y542213DXYDXDY2COVX,Y54225COVXY,XYDXDY5416513,YDCOV七（1）、设总体X的概率密度函数是1,01XXFA其它其中为未知参数。是一组样本值，求参数的最大似然估计。012,NX解似然函数11NNIIILXX1LNLLNIILX1LL0NIID1LNIIX七（3）、设总体X的概率密度函数是22EXP,00,XF其它专业、班级学号姓名密封线专业、班级学号姓名密封线第35页，共47页0为未知参数，是一组样本值，求参数的最大似然估计。123,NXX解似然函数22111EPEXPNNNIIIIIL211LNL2LNNIIILX21L0NIDX21NIX七（4）、设总体的概率密度函数是233EXP,00,XFX其它其中0是未知参数，是一组样本值，求参数的最大似然估计。123,N解似然函数23111EXPEXPNNNIIIIIL2311LNL3LNNIIILX31L0NID31NIX七（5）、设总体X服从参数为的泊松分布（0，1，），其中为未知XPE0参数，是一组样本值，求参数的最大似然估计。123,NXX解似然函数11NIXNIIILEX11LNLLNIIILXX1LN0IDLN1NIX七（6）、设总体X的概率分布为。设为总体X的一组简1P,0XXXP123,NXX专业、班级学号姓名密封线专业、班级学号姓名密封线专业、班级学号姓名密封线第36页，共47页单随机样本，试用最大似然估计法求P的估计值。解11IINXXILP11LNLLNIILXXP11L0NNIIDXXP1NIP七（7）、设总体X服从参数为的指数分布，是一组样本值，求参数的最大似1123,NXX然估计。解11NIINXXILEE1LNLNILX21L0NIDX1NIX七（8）、设总体X服从参数为的指数分布，是一组样本值，求参数的最大似123,NX然估计。解似然函数11NIINXXILE1LNLNILX1LN0NIDLX1NIX七（9）、设总体X的概率密度函数是21,XFXEX是一组样本值，求参数的最大似然估计12,N解似然函数专业、班级学号姓名密封线专业、班级学号姓名密封线第37页，共47页21211EXPINNXINIILE21LNL2NILX1L0NIDX1NIX七（10）、设总体X的概率密度函数是21,XFXEX是一组样本值，求参数的最大似然估计123,N解似然函数22111EXPIXNNNINILE21LLN2LNILX21LNIDX21NIX八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（单位MM）605758657063566150设零件长度X服从正态分布N,1。求的置信度为095的置信区间。0505025926,836,19TTU已知、解由于零件的长度服从正态分布,所以0,1/XNN025|9PUU所以的置信区间为经计算025025,XUXUN916IX的置信度为095的置信区间为即5347，6653113369,6第38页，共47页八（2）、某车间生产滚珠，其直径XN,005，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位毫米）146151149148152151148150147若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径的置信度为095的置信区间。0505025926,836,19TTU已知解由于滚珠的直径X服从正态分布,所以0,1/XNN025|9PUU所以的置信区间为经计算025025,XUXUN9141IX的置信度为095的置信区间为即14765，150570505331496,1496八（3）、工厂生产一种零件,其口径X单位毫米服从正态分布,现从某日生产的零件2N中随机抽出9个,分别测得其口径如下146147151149148150151152147已知零件口径X的标准差，求的置信度为095的置信区间。0150505025926,836,9TTU已知解由于零件的口径服从正态分布,所以0,1/XNN025|9PUU所以的置信区间为经计算025025,XUXUN914IX的置信度为095的置信区间为即14802,14998015015331496,496八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S3M/S，设炮口速度第39页，共47页服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差的置信度为095的置信区间。2222050975050975813,8191,已知；因为炮口速度服从正态分布，所以211NSWN2205097588PW的置信区间为2220509751,SN的置信度095的置信区间为即289,13204106,328八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下。求该校女生身高方差的置信度为095的置信区间。1627,420XCMSC222205097505097583,8191,已知；解因为学生身高服从正态分布，所以211NSWN2205097588PW的置信区间为的置信度095的置信区间为2220509751,SN22284,17530即804,673八（6）、一批螺丝钉中,随机抽取9个,测得数据经计算如下。设螺丝钉160,21XCMSC的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差的置信度为095的置信区间。2222050975050975813,8191,已知；解因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以第40页，共47页211NSWN2205097588PW的置信区间为2220509751,SN的置信度095的置信区间为即222810,138201,683八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸的平均值，样本3258X方差。假定该产品的尺寸X服从正态分布,其中与均未知。求的2097S2N2置信度为095的置信区间。解由于该产品的尺寸2222050975050975341,1938,180已知；服从正态分布，所以21NSWN22050975PW的置信区间为2220509751,1SN的置信度095的置信区间为即2097,328056,27八（8）、已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布。从中随机抽取9根，经计算得其2,N标准差为8069。求的置信度为095的置信区间。2（）2222050975050975913,813,81已知，解由于抗拉强度服从正态分布所以，211NSWN2205097588PW第41页，共47页的置信区间为2220509751,1NSN的置信度为095的置信区间为，即22286809,329705,381八（9）、设总体X，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差，试求总2,N207S体方差的置信度为095的置信区间。解由于22220509750509751684,168148,16已知；X，所以,N21NSWN2205097511PW的置信区间为2220509751,SN的置信度095的置信区间为，即21507,24862038,16八（10）、某岩石密度的测量误差X服从正态分布，取样本观测值16个，得样本方差,N，试求的置信度为95的置信区间。204S2解由于X220250975050975168,168148,16已知；，所以,N21NSWN2205097511PW的置信区间为2220509751,SN的置信度095的置信区间为即240,286202,96第42页，共47页九（1）、某厂生产铜丝，生产一向稳定,现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得。假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平下，是1022875,605IIXX01否可以相信该厂生产的铜丝折断力的方差为162222050950509513,134916,3已知解待检验的假设是选择统计量在成立时206H21NSW0H29W205095P取拒绝域W162,3W由样本数据知05NS16053169203接受，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。0H九（2）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为003。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为00375。试问在显著水平下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异052222050975050975148,13,91,已知解待检验的假设是选择统计量在成立时20H21NSW0H29W22050975PW取拒绝域W13,由样本数据知29037512NS第43页，共47页19023570接受，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。H九（3）、某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布，现从一批产2,09N品中抽测20个样本，测得样本标准差S12。问在显著水平下，该批产品的标准1差是否有显著差异222205095050951934,1314,18已知；解待检验的假设是选择统计量在成立时09H21NSW0H219W220509511PW取拒绝域W34,017由样本数据知229378NS378014拒绝，即认为这批产品的标准差有显著差异。0H九（4）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布。现抽245,01N测了9炉铁水,算得铁水含碳量的平均值，若总体方差没有显著差异，即，45X2问在显著性水平下，总体均值有无显著差异050505025926,836,19TTU已知解待检验的假设是选择统计量在成立时04H/XUN0H0,1UN取拒绝域W025|PUU|1960第44页，共47页由样本数据知拒绝，即认为总45286401/3/XUN1960U0H体均值有显著差异。九（5）、已知某味精厂袋装味精的重量X，其中15，技术革新后，2,N209改用新机器包装。抽查9个样品，测定重量为（单位克）147151148150153149152146151已知方差不变。问在显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15050505025123,14