经济数学基础《线性代数》第二章-矩阵

经济数学基础线性代数,第二章矩阵,矩阵的运算、矩阵的初等行变换、矩阵的秩和逆矩阵,本章难点：求逆矩阵,本章重点：,一、矩阵的概念,（一）矩阵的概念,称为：mn矩阵,矩阵表示一张数表；,行列式是一个算式，即是一个数值。,（二）几类基本的矩阵,1、行矩阵,2、列矩阵,矩阵只有一行，即,矩阵只有一列，即,3、n阶方阵（n阶矩阵）,矩阵的行和列数相同，即,主对角线,次对角线,4、零矩阵,所有元素都为0的mn矩阵,5、同形矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等,类似实数0.,是同形矩阵。,6、负矩阵,在它的每个元素前添上一个负号，就得到A的负矩阵,类似实数里的负数.,7、单位矩阵,主对角线上的元素都是1，其余元素都是0的n阶方阵。,在矩阵运算中的作用，类似实数1在数字运算中的作用.,二、矩阵的运算,（一）矩阵的相等,两个矩阵A和B相等（A=B），要满足：,1、A和B是同形矩阵，即行、列数分别相等；,2、对应元素相等。,例如：已知A=B，其中,5,2,（二）矩阵的加（减）法,条件：A与B是同形矩阵.,即：对应元素相加减,（三）矩阵的数乘,即：与每个元素相乘,数量矩阵,数k乘单位矩阵，即,例1：,解：,（四）矩阵的乘法,(1)左边A的列数与右边B的行数相同,(2)AB的行数等于左边A的行数，列数等于右边B的列数。,(3)行乘列法则：即左边A的行与右边B的列上的元素对应相乘。,1、行矩阵列矩阵,n列,n行,行矩阵列矩阵一个数,2、矩阵矩阵,两个矩阵相乘，要满足条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。,例4：,则：,对于AB,AC,BC，都不能进行乘法,而BA,CB就可以进行乘法。,两个矩阵相乘，要满足条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。,例1：,解：,矩阵乘法的特别之处：,（1）乘法的交换律不成立。即有：ABBA。,若AB=BA，则称A与B可交换。,（2）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵，即有：AO，BO，但ABO。,（3）乘法的消去律不成立。即有：AO，且AB=AC，但不能推出BC。,由此，可看出单位矩阵I在矩阵运算中的作用就是类似数1在实数运算中的作用。,练习2.3计算矩阵,【解答】,由（1）（2）两题又验证，矩阵乘法的交换律不成立。即有：ABBA。,验证了：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵,验证了：乘法的交换律不成立,（五）矩阵的转置,将矩阵A的行与列依次互换位置而得。,矩阵的转置的性质：,【例2】,【解】,若A为34矩阵，B为25矩阵，其,乘积,有意义，则C为_矩阵。,【例2续】,【解】,若A为34矩阵，B为25矩阵，则,乘积,是_矩阵。,【例3】,【解】,【例4】,【解】,利用（2）中的AB来求,三、几类特殊矩阵,零矩阵,单位矩阵,数量矩阵,方阵,（一）对角矩阵,主对角线以外的元素全为零的方阵,对角矩阵的性质,（1）对角矩阵的和与差仍是对角矩阵,（2）数与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵,（二）三角矩阵,主对角线下方的元素全为0的方阵称为上三角矩阵,主对角线上方的元素全为0的方阵称为下三角矩阵,上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵,类似对角矩阵，可得：两个同阶上（下）三角矩阵的和、数乘、乘积仍为上（下）三角矩阵。,注意：上（下）三角矩阵的转置为下（上）三角矩阵。,（三）对称矩阵,（1）对称矩阵一定是方阵；,（2）关于主对角线对称的位置上的元素必定相等，即,例如：,都是对称矩阵,都不是对称矩阵,【问】对角矩阵是否对称矩阵？,【答案】是,类似对角矩阵，可得：两个同阶对称矩阵的和、差、数乘仍为对称矩阵。,注意：两个同阶对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。（见课本66页例子）,【问】对称矩阵的转置是否对称矩阵？,【答】是。,【例5】当a=_，b=_时，矩阵,是对称矩阵。,【解】,由对称矩阵的定义，可知：,矩阵A是对称矩阵。,【例6】试证：对任意方阵A，都有,是对称方阵。,证明：,根据对称矩阵的定义只需证明,关键：利用定