高考必备：高中数学易错题精讲.doc

易错题收集1渐近线为，且过点的双曲线的标准方程是 2已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是 3在平面直角坐标系中，已知点A在椭圆上，点P满足 ，且，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为 154已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 5已知函数，（1）求函数的单调递减区间；（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围试题解析：（1）因为函数的定义域为，且，令，即,解之得的单调递减区间为（2）令，且定义域为所以令，列表如下：1+0-递增极大值递减所以函数在区间先单调递减后单调递增，故要使有两个不等的根，只须 即 所以（3）令，且要使存在，当时，恒有，则只须即可，也就是存在，当时函数是单调递增的，又因为，只须在时成立，即，解得，所以的取值范围是 6已知c0，且，设p：函数ycx在R上递减；q：不等式x|x2c|1的解集为R，如果“pq”为真，且“pq”为假，求c的取值范围 解：p：函数ycx在R上递减，0c1 q：不等式x|x2c|1的解集为R，设f(x)x|x2c|f(x)的最小值为2c，即2c1，故c “pq”为真，且“pq”为假，p真q假或p假q真当p真q假时，c的取值范围是0c；当p假q真时，c的取值范围是c1 因此，c的取值范围是(1，)7已知函数在处有极值，则 308已知点是椭圆上的一个动点,点P在的延长线上,且,则点P横坐标的最大值为 9 若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 14如图：若线段,点在线段上，且，为线段上的动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点，则面积的最大值为 10过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若=，且这样的直线共有2条，则 的取值范围是_ _11已知双曲线的两条渐近线的夹角为60，则其离心率为_12双曲线C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是_ _13关于x的方程有两个正数解，则实数的取值范围是_ _ 14已知点P为曲线上任一点，则长度的最小值为_ _ 15设椭圆（ab0）的两焦点为F1，F2若椭圆上存在点Q，使F1QF2=120，椭圆离心率e的取值范围为_16不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是 17已知椭圆，F1，F2是左右焦点,是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是18双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则该双曲线的离心率e 19已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x1时，h(x)=0,故f(x)具有性质P(b)(2)b2时，由x1得0,f(x)在(1,+）上单调增b2时,解方程得到=1 故1xx2时，f(x)单调增总之，b2时，f(x)单调增区间为(1,+）；b2时，f(x)单调减区间为(1,),增区间为（,+）21已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_(0,1)(2,3)22已知函数f(x)x2bsin x2(bR)，F(x)f(x)2，且对于任意实数x，恒有F(x)F(x)0 (1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)f(x)2(x1)aln x在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围 解(1)F(x)f(x)2x2bsin x22x2bsin x，依题意，对任意实数x，恒有F(x)F(x)0 即x2bsin x(x)2bsin(x)0，即2bsin x0，所以b0，所以f(x)x22 (2)g(x)x222(x1)aln x，g(x)x22xaln x，g(x)2x2 函数g(x)在(0,1)上单调递减，在区间(0,1)内，g(x)2x20恒成立，a(2x22x)在(0,1)上恒成立 (2x22x)在(0,1)上单调递减，a4为所求 23若点P在曲线上移动，设点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_24如图，椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，若，则椭圆的心率 25设分别为椭圆（）与双曲线（）的公共焦点，它们在第一象限内交于点， ，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为_26椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，则的周长的最大值是_27已知命题p：“x1,2，x2a0”，命题q：“x0R，x2ax02a0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围 【解】由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题 若p为真命题，则ax2对于x1,2恒成立 a1 若q为真命题，则关于x的方程x22ax2a0有实根，4a24(2a)0，即a1或a2 综上，实数a的取值范围为a2或a1 28设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P(0，)到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程【解】同错解得到d2x2(y)2a2(1)y23y3(y)24b23 若b，与b0时，令f (x)0，得x10，x21.当0a1时，1x20，f(x)与f (x)的变化情况如下：x(1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f (x)00f(x)f(x2)f(x1)f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，).9分当a0时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)综上，当a0时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)；当0a1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是和(0，).10分(3)由(2)知a0时，f(x)在(0，)上单调递增，由f(0)0知不合题意. 12分当0a0，f(x)在区间上递增可知，ff(0)0，不合题意.14分当a1时，f(x)在(0，)上单调递减，可得f(x)在0，)上的最大值是f(0)0符合题意即f(x)在0，)上的最大值是0时，a的取值范围是1，).16分af(x)af(x)min.例题3：已知函数f(x)aln x(aR)(1)求函数f(x)的单调区间； (2)试求函数f(x)的零点个数，并证明你的结论解(1)由函数f(x)aln x(aR)，得f (x)(ln x2).2分令f (x)0，得xe2.列表如下：x(0，e2)e2(e2，)f (x)0f(x)极小值因此，函数f(x)的单调增区间为(e2，)，单调减区间为(0，e2).5分(2)由(1)可知，f(x)minf(e2)a2e1.6分()当a2e1时，由f(x)f(e2)a2e10，得函数f(x)的零点个数为0.8分()当a2e1时，因f(x)在(e2，)上是单调递增，在(0，e2)上单调递减，故x(0，e2)(e2，)时，f(x)f(e2)0.此时，函数f(x)的零点个数为1.10分()当a2e1时，f(x)minf(e2)a2e10.a0时，因为当x(0，e2时，f(x)aln xa0，所以，函数f(x)在区间(0，e2上无零点；另一方面，因为f(x)在e2，)上单调递增，且f(e2)a2e10，又e2a(e2，)，且f(e2a)a(12ea)0，此时，函数f(x)在(e2，)上有且只有一个零点所以，当a0时，函数f(x)零点个数为1.13分0a2e1时，因为f(x)在e2，)上单调递增，且f(1)a0，f(e2)a2e10，所以，函数f(x)在区间(e2，)上有且只有1个零点；另一方面，因为f(x)在(0，e2上是单调递减，且f(e2)a2e10.15分又e(0，e2)，且f(e)aa0，(当x0时，exx2成立)此时，函数f(x)在(0，e2)上有且只有1个零点所以，当0a2e1时，函数f(x)零点个数为2.综上所述，当a2e1时，f(x)的零点个数为0；当a2e1或a0时，f(x)的零点个数为1；当0a2e1时，f(x)的零点个数为2.16分例题4：如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米(1)当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？(1) (2)解(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，1分因为AB2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为x2y21(1x1，y0).3分因为水深CD0.4米，所以OD0.6米，4分在RtODM中，DM0.8(米). 所以MN2DM1.6米，故沟中水面宽为1.6米.6分 (2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为P(cos ，sin )是圆弧BC上的一点，过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcos ysin 1.令y0，得E，令y1，得F.8分设直角梯形OCFE的面积为S1，则横断面的面积为S2S1，则S(CFOE)OC1.10分S，令S0，解得，当时，S0，函数单调递减；当0时，S0，函数单调递增所以时，面积S取得最小值，最小值为.12分此时CF，即当渠底宽为米时，所挖的土最少.14分(1)若函数f(x)在x(2，)上单调递减，则实数a的取值范围是_对函数求导得：f(x)，令f(x)0，即2a10，解得a0，3分所以当x(0,2)时，f (x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，).6分(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；7分当k0时，设函数g(x)exkx，x(0，).8分因为g(x)exkexeln k，当00，yg(x)单调递增故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点.10分当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得eke时递增，又在有一个零点。有两个零点时。5分（II）取，不妨设et0）由MF1+MF23有解得 则直线F1M方程为：由且x0得 故 （3）设PA：，则PB：由得同理 又点A、B在椭圆C上，则O为线段AB中点点A在椭圆C上，12、已知函数其中（1）若曲线与曲线在它们的交点处有相同的切线（P为切点），求的值；（2）令若函数的单调递减区间为，若函数在区间上的最大值为,不等式恒成立，求的取值范围；记在-2，0上的最大值为，解关于的不等式。解（1）由为公共切点可得：则则又得：（2）函数的单调递减区间为，是方程的一个根，得，在增，在减，在增，当时，最大值为当时，（注意到），最大值为=综上：不等式恒成立，由函数的单调性可知：记=，递增，可知在处取得最小值1，故综上：。在增，在减，在增，的极大值为，的极小值为，在-2，0上的最大值为，且，解得10、已知等比数列an的首项a12，公比q3，Sn是它的前n项和求证：.证明：由已知，得Sn3n1，则，即3n2n1.(*)用数学归纳法证明当n1时，左边3，右边3，所以(*)成立假设当nk时，(*)成立，即3k2k1，那么当nk1时，3k133k3(2k1)6k32k32(k1)1，所以当nk1时，(*)成立综合，得3n2n1成立所以.11是双曲线右支上一点， 、分别是左、右焦点， 是三角形的内心，若，则实数的值为_11【解析】依题意,设双曲线的焦距为2c，实轴长为2a，则.I是三角形PF1F2的内心,设三角形PF1F2的内切圆的半径为r，则： ，又，即，,又P是双曲线右支上一点，.点睛： (1)双曲线定义的集合语言：PM|MF1|MF2|2a,02a|F1F2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上14函数若 对恒成立，则的取值范围是_.14【解析】令，则， ，即对恒成立，因为是R上的奇函数，也是增函数，所以即，令，则，求其最大值可得，所以，故填.20已知函数 （I）当时，求的单调区间和极值；（II）若对于任意，都有成立，求k的取值范围；() 若，且，证明：20（I）极小值为，无极大值；（II）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意x0，由此根据k0，k0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值（2）问题转化为，对于xe，e2恒成立，令，则，令，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围（3）设，则，要证，只要证，即证，由此利用导数性质能证明.试题解析：（1）， 时，因为，所以，函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； 当时，令，解得，当时，；当，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 在区间上的极小值为，无极大值 （2）由题意，即问题转化为对于恒成立，即对于恒成立， 令，则，令，则，所以在区间上单调递增，故，故，所以在区间上单调递增，函数 要使对于恒成立，只要，所以，即实数k的取值范围为 （3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且不妨设，则，要证，只要证，即证因为在区间上单调递增，所以，又，即证， 构造函数，即， ，因为，所以，即，所以函数在区间上单调递增，故，而，故， 所以，即，所以成立 证法2 要证成立，只要证：. 因为，且，所以，即，即，同理，从而， 要证，只要证，令不妨设，则，即证，即证，即证对恒成立， 设，所以在单调递增，得证，所以.20（16分）已知函数f（x）=lnx+ax2（x0），g（x）=bx，其中a，b是实数（1）若，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直线是曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（3）若a0，且，函数h（x）=f（x）g（2x）有且只有两个不同的零点，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值问题；（2）设出切点坐标，表示出切线方程，得到lnx0x0+1=0，设t（x）=lnxx+1，x0，根据函数的单调性求出a的值即可；（3）通过讨论a的范围，求出函数的单调性，结合函数h（x）=f（x）g（2x）有且只有两个不同的零点，求出a的范围即可【解答】解：（1）由题意，x0，令f（x）=0，x=1，（2分）x（0，1）1（1，+）f（x）+0f（x）从上表可知，当x=1时，f（x）取得极大值，且是最大值，f（x）的最大值是（2）由题意，直线是曲线y=lnx