2019_2020学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版.docx

3.2.1单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义第1课时函数的单调性知识点一定义域为I的函数f(x)的单调性定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间知识点二单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接. 如函数y在(，0)和(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y在(，0)(0，)上单调递减教材解难1教材P77思考f(x)|x|在(，0上单调递减，在0，)上单调递增；f(x)x2在(，0上单调递增，在0，)上单调递减2教材P77思考(1)不能例如反比例函数f(x)，在(，0)，(0，)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的(2)函数f(x)x在(，)上是单调递增的f(x)x2在(，0上是单调递减，在0，)上是单调递增的基础自测1下列说法中正确的有()若x1，x2I，当x1x2时，f(x1) Bm Dm解析：使y(2m1)xb在R上是减函数，则2m10，即mf(x2)，则x1，x2的大小关系为_解析：f(x)在R上是增函数，且f(x1)f(x2)，x1x2.答案：x1x2题型一利用函数图象求单调区间经典例题例1已知函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为()A(3,1)(1,4) B(5，3)(1,1)C(3，1)，(1,4) D(5，3)，(1,1)【解析】在某个区间上，若函数yf(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(3，1)，(1,4)【答案】C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间跟踪训练1函数f(x)的图象如图所示，则()A函数f(x)在1,2上是增函数B函数f(x)在1,2上是减函数C函数f(x)在1,4上是减函数D函数f(x)在2,4上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断题型二函数的单调性判断与证明教材P79例3例2根据定义证明函数yx在区间(1，)上单调递增【证明】x1，x2(1，)，且x11，x21.所以x1x21，x1x210.又由x1x2，得x1x20.于是(x1x21)0，即y1y2.所以，函数yx在区间(1，)上单调递增.先根据单调性的定义任取x1，x2(1，)，且x1x2，再判断f(x1)f(x2)的符号教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键跟踪训练2利用单调性的定义，证明函数y在(1，)上是减函数证明：设x1，x2是区间(1，)上任意两个实数且x1x2，则f(x1)f(x2)，1x10，x110，x210.0.即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)y在(1，)上是减函数利用四步证明函数的单调性题型三由函数的单调性求参数的取值范围经典例题例3已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围【解析】f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的减区间是(，1af(x)在(，4上是减函数，对称轴x1a必须在直线x4的右侧或与其重合1a4，解得a3.故a的取值范围为(，3首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x1a，利用对称轴应在直线x4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义跟踪训练3例3中，若将“函数在区间(，4上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(，4”，则a为何值？解析：由例3知函数f(x)的单调递减区间为(，1a，1a4，a3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有0，则必有()A函数f(x)先增后减Bf(x)是R上的增函数C函数f(x)先减后增D函数f(x)是R上的减函数解析：由0知，当ab时，f(a)f(b)；当ab时，f(a)f(m9)，则实数m的取值范围是()A(，3) B(0，)C(3，) D(，3)(3，)解析：因为函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，所以2mm9，即m3.答案：C二、填空题5如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，则函数f(x)的单调递增区间是_解析：由图象知单调递增区间为1.5,3和5,6答案：1.5,3和5,66若f(x)在R上是单调递减的，且f(x2)3，解得x5.答案：(5，)7函数y|x24x|的单调减区间为_解析：画出函数y|x24x|的图象，由图象得单调减区间为：(，0，2,4答案：(，0，2,4三、解答题8判断并证明函数f(x)1在(0，)上的单调性解析：函数f(x)1在(0，)上是增函数证明如下：设x1，x2是(0，)上的任意两个实数，且x10，又由x1x2，得x1x20，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)1在(0，)上是增函数9作出函数f(x)的图象，并指出函数的单调区间解析：f(x)的图象如图所示由图象可知：