2019届四市联考数学一模答案.pdf

数学参考答案与评分细则 第 1 页（共 16 页） 2019 届高三第一次调研测试 数学学科参考答案及评分建议数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 已知集合，则集合= 1 3A，0 1B，ABU 【答案】 0 1 3， 2 已知复数（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 . 2i 3i 1i z = 【答案】 5 3 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班 50 名学生参加活动的次数统计如下： 次数 2 3 4 5 人数 20 15 10 5 则平均每人参加活动的次数为 . 【答案】3 4 如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为 【答案】7 5 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参 加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 【答案】 2 3 6 已知正四棱柱的底面边长是 3 cm，侧面的对角线长是3 5 cm， 则这个正四棱柱的体积为 cm3 【答案】 54 7 若实数满足，则的最小值为 xy，2 +3xyxxy 【答案】 6 8 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的准线为 l，直线 l 与双曲线 2 2(0)ypx p 2 2 1 4 x y （第 4 题） N 开 始 a FA 上顶点为 B （1）已知椭圆的离心率为，线段中点的横坐标为，求椭圆的标准方程； 1 2 AF 2 2 （2）已知外接圆的圆心在直线上，求椭圆的离心率 的值 ABFyx=e 【解】 （1）因为椭圆的离心率为， 22 22 1 xy ab =(0)ab 1 2 所以，则 1 2 c a 2ac= 因为线段中点的横坐标为， AF 2 2 所以 2 22 ac = 所以，则， 2c = 2 8a = 222 6bac= 所以椭圆的标准方程为 4 分 22 1 86 xy = （2）因为， (0)(0)A aFc， 所以线段的中垂线方程为： AF 2 ac x = 又因为外接圆的圆心 C 在直线上， ABFyx= 所以6() 22 acac C ， 分 因为， (0)(0)A aBb， xOFA B （第 17 题） y 数学参考答案与评分细则 第 6 页（共 16 页） 所以线段的中垂线方程为： AB() 22 baa yx b = 由 C 在线段的中垂线上，得， AB() 2222 acba aca b = 整理得，10 分 2 ()b acbac 即 ()()0bc ab 因为，所以120abbc 分 所以椭圆的离心率 14 22 2 2 cc e a bc 分 18 （本小题满分 16 分） 如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，的长分别为和 ABCDAB AD，2 3 m ，上部是圆心为的劣弧， 4 mOCD= 3 COD （1）求图 1 中拱门最高点到地面的距离； （2）现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂ABCD 直， 如图 2、图 3、图 4 所示设与地面水平线 所成的角为记拱门上的点到地BCl 面 的最大距离为，试用的函数表示，并求出的最大值 hhh 【解】 （1）如图，过作与地面垂直的直线交于点，交劣弧于点，的 OAB CD， 12 OO，CDP 1 O P O O O D D D C C C B BB A A A AB C D O 图 1 （第 18 题） 图 2 图 3图 4 数学参考答案与评分细则 第 7 页（共 16 页） P O2 O1 O D C BA 长即为拱门最高点到地面的距离 在中， 2 RtO OC 2 3 O OC 2 3CO 所以，圆的半径 2 1OO 2ROC 所以 11122 =5O P ROOROOOO 答：拱门最高点到地面的距离为 4 分 5 m （2）在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 OP 当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆的半径长与圆PCDhO 心到地面距离之和； O 当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距PADhD 离 由（1）知，在中， 1 RtOO B 22 11 2 3OBOOO B 以为坐标原点，直线 为轴，建立如图所示Blx 的坐标系 （2.1）当点在劣弧上时， PCD 62 由， 6 OBx2 3OB 由三角函数定义， 得， O 2 3cos() 2 3sin() 66 ()， 则 8 分 22 3sin() 6 h 所以当即时， 62 3 取得最大值 10 分 h22 3 （2.2）当点在线段上时， PAD0 6 设，在中， =CBDRtBCD ， 22 2 7DBBCCD O D C B A x y O D C B A y x 数学参考答案与评分细则 第 8 页（共 16 页） 2 32142 7 sincos 772 72 7 ， 由，得 DBx2 7cos()2 7sin()()D， 所以142 7sin()h4sin2 3cos 分 又当时， 0 6 4cos2 3sin4cos2 3sin30 66 h 所以在上递增 4sin2 3cosh0 6 ， 所以当时，取得最大值 6 h5 因为，所以的最大值为 22 35h22 3 答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地 4sin2 3cos0 6 22 3sin() 662 h ， ， 面距离的最大值为（） 16 分 22 3m 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 ( )ln a f xx a x R （1）讨论的单调性； ( )f x （2）设的导函数为，若有两个不相同的零点 ( )f x( )fx( )f x 12 xx， 求实数的取值范围； a 证明： 1122 ()()2ln2x fxx fxa 【解】 （1）的定义域为，且 ( )f x0 +， 2 ( ) xa fx x （1.1）当时，成立，所以在为增函数； 2 分 0a( )0fx( )f x0 +， （1.2）当时， 0a 数学参考答案与评分细则 第 9 页（共 16 页） （i）当时，所以在上为增函数； xa( )0fx( )f x+a， （ii）当时，所以在上为减函数40 xa( )0fx( )f x0 a， 分 （2）由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意； 0a( )f x 当时，的最小值为， 0a ( )f x( )f a 依题意知，解得6( )=f a1ln0a 1 0 e a 分 一方面，由于，在为增函数，且函数的图 1a 10fa( )f x a，( )f x 象在上不间断 1a， 所以在上有唯一的一个零点 ( )f xa ， 另一方面， 因为，所以 1 0 e a 21 0 e aa ，令， 2211 ()ln2lnf aaa aa 1 2lng aa a 当时， 1 0 e a 22 1221 0 a ga a aa 所以 211 ()2ln20f ag aage ae 又，在为减函数，且函数的图象在上不间断 ( )0f a ( )f x0 a，( )f x 2 aa， 所以在有唯一的一个零点 ( )f x0 a， 综上，实数的取值范围是10 分 a 1 0 e ， 设 1122 1212 11=2+ aaaa px fxx fx xxxx 又 则12 1 1 2 2 ln0 ln0 a x x a x x ， ， 12 2lnpx x 分 数学参考答案与评分细则 第 10 页（共 16 页） 下面证明 2 12 x xa 不妨设，由知 12 xx 12 0 xax 要证，即证 2 12 x xa 2 1 2 a x x 因为，在上为减函数， 2 1 2 0 a xa x ，( )f x0 a， 所以只要证 2 1 2 a ff x x 又，即证14 12 =0f xf x 2 2 2 a ff x x 分 设函数 2 2ln2ln axa F xff xxa xa xax 所以，所以在为增函数. 2 2 0 xa Fx ax F x+a， 所以，所以成立 2 0F xF a 2 2 2 a ff x x 从而成立. 2 12 x xa 所以，即成立. 16 分 12 2ln2ln2px xa 1122 2ln2x fxx fxa 20 （本小题满分 16 分） 已知等差数列满足，前 8 项和 n a 4 4a 8 36S （1）求数列的通项公式； n a （2）若数列满足 n b 21 2 1 23(21) n n knkn k b aan N， 证明：为等比数列； n b 求集合 * 3 ()= p m mp a a mpmp bb N， 【解】 （1）设等差数列的公差为 d n a 因为等差数列满足，前 8 项和， n a 4 4a 8 36S 数学参考答案与评分细则 第 11 页（共 16 页） 所以，解得 1 1 34 87 836 2 ad ad ， 1 1 1 a d ， 所以数列的通项公式为 3 n a n an 分 （2）设数列前项的和为 n bn n B 由（1）及得， 21 2 1 23(21) n n knkn k b aan N， 21 2 1 1 1 21 2 1 3 212 3 21212 n n knk k n n knk k b an b ann ， ， 由-得 1 121223131 3 213 21+2 nn nnnn bab abab an L 1232251 1 +22 nnn bab aban L 123225111 (2)(2)+(2)2 nnnn b ab abab an L 1232251 1 +22 nnn bab aban L 121 2+222 nnnnn bbbbBbb L 所以， 1 3 222 n nn Bb 2nn N， 又，所以，满足上式 1 1 1 3 212ba 1 1b 所以6 分 1 223 2n nn Bbn N 当时， 2n 2 11 223 2n nn Bb 由-得，8 2 1 3 2n nn bb 分 ， 12 1 22 nn nn bb L 1 0 1 120 n b 所以， 1 2n n b 1 2 n n b b 所以数列是首项为 1，公比为 2 的等比数列10 n b 分 数学参考答案与评分细则 第 12 页（共 16 页） 由，得，即 3 = p m mp a a bb 11 3 22 mp p m 3 2p m p m 记，由得， n n n a c b 1 2 n n n n a n c b 所以，所以（当且仅当时等号成立） 11 1 2 n n c n cn 1nn cc 1n 由，得， 3 = p m mp a a bb 3 mpp ccc 所以12 分 mp 设，由，得 tpm * mptN， 3 2p m p m 3 23 t t m 当时，不合题意； 1t 3m 当时，此时符合题意； 2t 6m 8p 当时，不合题意； 3t 9 5 m 当时，不合题意 4t 12 1 13 m 下面证明当时， 4tt N， 3 1 23 t t m 不妨设， 233 x f xx4x ， 2 ln230 x fx 所以在上单调增函数， f x4+)， 所以， ( )(4)10f xf 所以当时，不合题意 4tt N， 3 1 23 t t m 综上，所求集合16 分 * 3 ()= p m mp a a mpmp bb N，=6 8， 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作 答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 数学参考答案与评分细则 第 13 页（共 16 页） 已知矩阵，且，求矩阵 = ab cd M 10 = 1 0 2 N 1 1 0 4 02 MNM 【解】由题意，则 4 1 1 0 4 02 MN 40 1 0 2 MN 分 因为，则6 10 = 1 0 2 N 1 10 = 02 N 分 所以矩阵10 40 1040 = 1 02010 2 M 分 B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是（ 为参数） 以原点 O 为极点， 2 xt yt ， t x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 sin()2 4 求：（1）直线 l 的直角坐标方程； （2）直线l被曲线 C 截得的线段长 【解】【解】 （1）直线 l 的极坐标方程可化为，即(sincoscos sin)2 44 sincos2 又， cossinxy， 所以直线 l 的直角坐标方程为 4 分 20 xy （2）曲线 C: （ 为参数）的普通方程为 2 xt yt ， t 2 xy 由，得， 2 20 xy xy ， 2 20 xx 所以直线 l 与曲线 C 的交点， 8 分 1 1A ，24B， 所以直线l被曲线 C 截得的线段长为10 分 22 =12+ 14=3 2AB C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 数学参考答案与评分细则 第 14 页（共 16 页） 已知实数满足，求证： a b c， 222 abc1 222 1119 1114abc 【证明】【证明】由柯西不等式，得 222 222 111 111 111 abc+ abc ，5 分 2 222 222 111 1119 111 a+ b+ c abc 所以 10 分 222222 111999 1113134 + abcabc 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出 文字说明、证明过程或演算步骤 22(本小题满分 10 分) “回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3553 等显然 2 位 “回文数”共 9 个：11，22，33，99现从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个乘以 4， 其结果记为 X；从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为 Y （1）求 X 为“回文数”的概率； （2）设随机变量表示 X，Y 两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望 ( )E 【解解】 （1）记“X 是回文数 ”为事件 A 9 个不同 2 位“回文数”乘以 4 的值依次为：44，88，132，176，220，264， 308， 352，396其中“回文数”有：44，88 所以，事件 A 的概率3 分 2 ( ) 9 P A （2）根据条件知，随机变量的所有可能取值为 0，1，2 由（1）得5 2 ( ) 9 P A 分 设“Y 是回文数 ”为事件 B，则事件 A，B 相互独立 根据已知条件得， 2 9 205 = 9 P B C 数学参考答案与评分细则 第 15 页（共 16 页） ； 2528 =0 =11 9981 PP A P B ； 2 52543 =1 =11 9 99981 PP A P BP A P B 8 分 2 510 =2 = 9 981 PP A P B 所以，随机变量的概率分布为 0 1 2 P 28 81 43 81 10 81 所以，随机变量的数学期望为10 2843107 ( )012 8181819 E 分 23(本小题满分 10 分) 设集合是集合，的子集记中所有元素的 B1 2 3 n A ，32 31 3 nnnn N，B 和为（规定：为空集时，=0） 若为 3 的整数倍，则称为的“和谐子集” SBSSB n A 求：（1）集合的“和谐子集”的个数； 1 A （2）集合的“和谐子集”的个数 n A 【解解】 （1）集合的子集有：， 1= 1 2 3 A， 1 2 31 2，1 3，2 3， 1 2 3， 其中所有元素和为 3 的整数倍的集合有：， 31 2，1 2 3， 所以的“和谐子集”的个数等于 4