九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题.doc

） 圆 【知识梳理】 1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定 点为圆心，定长为半径 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 （2）圆的有关性质 圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图 形，对称中心为圆心 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 弧、半圆、优弧、劣弧： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示， 为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。 以CD半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. （3）对圆的定义的理解： 圆是一条封闭曲线，不是圆面； 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长） 2.与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的 度数 ） （2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 （3）圆心角与圆周角的关系： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 3. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 4. 确定圆的条件: 1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2. 经过三点作圆要分两种情况: (1) 经过同一直线上的三点不能作圆. (2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 5. 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离的定义: (1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线. (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点. (3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d； dr 直线L和O相交. d=r 直线L和O相切. dr 直线L和O相离. 3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径. ） 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. 垂直于切线; 过切点; 过圆心. 5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. 6. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等. (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 6. 圆和圆的位置关系. 1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义. (1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离. (2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点. (3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交. (4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点. (5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2. 两圆位置关系的性质与判定: (1)两圆外离 dR+r (2)两圆外切 d=R+r (3)两圆相交 R-rdR+r (Rr) (4)两圆内切 d=R-r (Rr) (5)两圆内含 dr) 3. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 4. 相交两圆的性质: 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 7. 圆内接四边形 若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. 8. 弧长及扇形的面积 1. 圆周长公式: ?R (R表示圆的半径C=2) 圆周长 2. 弧长公式: ） ?Rn (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 弧长l? 180: 3. 扇形定义. 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形: 4. 弓形定义 . 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 圆的面积公式5. 2?) 圆的面积(R表示圆的半径 RS?: 6. 扇形的面积公式2?Rn?S) 表示弧所对的圆心角的度数(R表示圆的半径, n 扇形的面积 扇形3605) 如图弓形的面积公式:( A BO OABO BA CCCSS?S?, (1)当弓形所含的弧是劣弧时5 图弓形三角形扇形S?S?S (2)当弓形所含的弧是优弧时, 弓形三角形扇形12? , 当弓形所含的弧是半圆时(3)SS?R 弓形扇形2 ） ） 例题解析O?80?BOC?ABC，则是直径，若如图1，是的外接圆，【例题1】A?AB ）等于（ 30o40o D B50o CA 60o DOOA BCB3 图 图1 图2 与小圆相切于点AB】如图2，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦【例题2 ，若大圆半径为C cm，则弦10cm，小圆半径为6cmAB的长为 的直径，ABC=120，OAD为3】如图3，ABC内接于O，AB=BC，【例题 BD_AD6，那么oo，那，的两条弦AC，BD相交于点E，A=70c=50如图【例题4】4已知O AEB的值为（）么sin3321 C.D. A. B. 2322 4 图 6?AB?10BC ，点5，半圆的直径C在半圆上，如图【例题5】C AC 的长；（1）求弦E AC ，求的长交为（2）若PAB的中点，于点EPEPEAB A B ）P ）8（图 ） 三、课堂练习 度 =40，则AOC O1、如图6，在中，ABC C A C SS2 1 O A B BCO A B 8 图 图6 图7 的度数等，则COB是弦，若ACO = 32O2、如图7，AB是的直径，AC 于 =_cm. BCBAC=30o，则为的直径AB=8cm，CO上的一点，、3已知O BCAC?Rt?RtABC?ACB为直中，分别以4、如图8，已知在，4AB?SSSS 径作半圆，面积分别记为 ， ，则+ 的值等于 2211 的最OAB上一动点，则点P到圆心OA，O的半径10cm，P为95、如图 。短距离为_cm 9 图cm23 ，AC=中，、如图610，在OACB=BDC=60 O的周长的度数；BAC2 （）求）求（1 ） 7、已知：如图11，O的直径AB与弦CD相交于，弧BC弧BD，O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F (1)求证:CDBF 3(2)连结BC,若O的半径为4,cosBCD=,求线段AD、CD的长 4 8、如图12，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作DFBC， ，垂足为F交AB的延长线于E 的切线；是O(1)求证：直线DE 的值时，求cosE当AB=5，AC=8(2) 12 图 四、经典考题解析的周长是，则ABC3CDB60 ，ACA O13 1.如图，在中，已知CB _. ） 15 14 图 图13 图“今有圆材，埋在壁冲，2.“圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：用数学语言可表述为不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”CD寸，则直径CE1寸，AB=10O，CD为的直径，弦ABCD于点E，如图14 ）的长为（ D26寸25寸 B13寸 C寸5 A12CD （ 相交于点P，那么） 等于弦如图3.15，已知AB是半圆O的直径，AD和BC ABBPD cottanBPD D AsinBPD BcosBPD C AB=6，CD=8，AB、CD为O的两条弦，且ABCD，4.O的半径是5 与CD之间的距离求 AB 0，并所对的圆心角为，已知圆的半径为1202cmM5.如图16，在中，弧AB AB的交点。y建立如图所示的直角坐标系，点C是轴与弧 M（1）求圆心的坐标； ） （2）若点D是弦AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积 Y D M16 BC 五、课后训练的直径等于，在O中，弦AB=1.8cm，圆周角ACB=30O ，则 1.如图17 _cm 19 图17 图18 图 ）的度数为（ 是圆心若C=35，则AOBO2.如图18，C是O上一点， 150BD C70 A35105 _ 1相等的角有，则图中和如图3.19，O内接四边形ABCD中，AB=CD AB在半径为1的圆中，弦、AC分别是和，则BAC的度数为多少？4.32 _. 的度数是则在O上，CC的长等于205.如图，弦ABO的半径，点 图 22 图 20 图 21 ） 6.如图21，四边形 ABCD内接于O，若BOD=100，则DAB的度数为（ ） A50 B80 C100 D130 7.如图22，四边形ABCD为O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果BOD=120，那么BCE等于（ ） A30 B60 C90 D120 8.如图，O的直径AB=10，DEAB于点H，AH=2 （1）求DE的长； （2）延长ED到P，过P作O的切线，切点为C， 若PC=22，求PD的长 5 九年级数学圆练习题 一、 填空题：（21分） 1、如图，在O中，弦ABOC，则=_ BOC?AOC?1152、如图，在O中，AB是直径，则=_ ?15?C?BAD?3、如图，点O是的外心，已知，则=_ ACB?OAB?40?ABC A CDA OO ABOCO ）ABDCB B ） 题4题图） （2 （题图） （3（1题图） 图） ，则 是O的直径，弧BC=弧BD4、如图，AB?25?BOD?A CA ABOBABPCD （题图）7（5题图） （6题图） 的直径为8，弦CD垂直平分半径OA，则弦CD5、如图，O 的范OP上一动点，则线段2cm，P点为弦AB，弦6、已知O的半径为2cmAB 围是 =_ BOCB=50o，C=20o，则的7、如图，在O中， 二、解答题（70分） ACODABO 1是的大小有什么关系？为什的直径、如图，.若，BD C么？ D BAO BOD BD；AOC=弧中，弦2、已知：如图，在OAB=CD.求证：弧AC= DO A BC ） 3、如图，已知：O中，AB、CB为弦，OC交AB于D，求证：（1）ODBOBD，（2）ODBOBC； O D C 的中位线ABC，MN是N于M，ONAC于AB、已知如图，4，AB、AC为弦，OM 吗？ A NM O B B DF=BE，求证：D=是弦，且、5、已知如图，ABCD是O的直径，DF、BE C A E FO B D ，D，CE平分DCO于上的一点，的直径，已知如图，6、AB是OC是OCDAB ，于EO交EB AE=弧求证：弧 C BODA ）E ） rCBCCCABCAC. =4，以点7、如图，已知=90，半径为=3，为圆心作CrAB. 取什么值时，点在当、外(1)CACBr. 在在内，点(2)当外在什么范围时，点Cr 当(2)AB在什么范围时，相切。与线段 A B C 分）（40三、计算下列各题：BC=，求交ODBCAC于D，OD 为1、如图，已知ABO的直径，AC为弦，c