规律探索综合题几何全国各地2019年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编版.doc

2019全国各地中考数学压轴大题几何综合8、 规律探索综合题1.（2019十堰）如图1，ABC中，CACB，ACB，D为ABC内一点，将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上（1）填空：CDE（用含的代数式表示）；（2）如图2，若60，请补全图形，再过点C作CFAE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若90，AC5，且点G满足AGB90，BG6，直接写出点C到AG的距离解：（1）将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CBEACDBCE，DCECDCECDE故答案为：（2）AEBE+CF理由如下：如图，将CAD绕点C按逆时针方向旋转角60得到CBEACDBCEADBE，CDCE，DCE60CDE是等边三角形，且CFDEDFEFAEAD+DF+EFAEBE+CF（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CEAG于点E，ACB90，ACBC5，CABABC45，AB10ACB90AGB点C，点G，点B，点A四点共圆AGCABC45，且CEAGAGCECG45CEGEAB10，GB6，AGB90AG8AC2AE2+CE2，（5）2（8CE）2+CE2，CE7（不合题意舍去），CE1若点G在AB的下方，过点C作CFAG，同理可得：CF7点C到AG的距离为1或72.（2019宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O（1）填空：点A在（填“在”或“不在”）O上；当时，tanAEF的值是；（2）如图1，在EFH中，当FEFH时，求证：ADAE+DH；（3）如图2，当EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EHAE+DH；（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FMFE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AEAD时，FN4，HN3，求tanAEF的值解：（1）连接AO，EAF90，O为EF中点，AOEF，点A在O上，当时，AEF45，tanAEFtan451，故答案为：在，1；（2）EFFH，EFH90，在矩形ABCD中，AD90，AEF+AFE90，AFE+DFH90，AEFDFH，又FEFH，AEFDFH（AAS），AFDH，AEDF，ADAF+DFAE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，F分别是边AD上的中点，AFDF，AFDG90，AFEDFG，AEFDGF（ASA），AEDG，EFFG，EFFH，EHGH，GHDH+DGDH+AE，EHAE+DH；（4）过点M作MQAD于点Q设AFx，AEa，FMFEEFFH，EFM为等腰直角三角形，FEMFMN45，FMFE，AMQF90，AEFMFQ，AEFQFM（ASA），AEEQa，AFQM，AEAD，AFDQQMx，DCQM，DCABQM，FEFM，FEMFMN45，FENHMN，3.（2019襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQAE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GFAE求证：DQAE；推断：的值为1；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，k（k为常数）将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k时，若tanCGP，GF2，求CP的长（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABDA，ABE90DAQQAO+OAD90AEDH，ADO+OAD90QAOADOABEDAQ（ASA），AEDQ解：结论：1理由：DQAE，FGAE，DQFG，FQDG，四边形DQFG是平行四边形，FGDQ，AEDQ，FGAE，1故答案为1（2）解：结论：k理由：如图2中，作GMAB于MAEGF，AOFGMFABE90，BAE+AFO90，AFO+FGM90，BAEFGM，ABEGMF，AMGDDAM90，四边形AMGD是矩形，GMAD，k（3）解：如图21中，作PMBC交BC的延长线于MFBGC，FEGP，CGPBFE，tanCGPtanBFE，可以假设BE3k，BF4k，EFAF5k，FG2，AE3，（3k）2+（9k）2（3）2，K1或1（舍弃），BE3，AB9，BC：AB2：3，BC6，BECE3，ADPEBC6，BEFFEPPME90，FEB+PEM90，PEM+EPM90，FEBEPM，FBEEMP，EM，PM，CMEMEC3，PC4.（2019天门）已知ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，连接DB，DC（1）如图，当BAC120时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：AB+ACAD；（2）如图，当BAC90时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图，若BC5，BD4，求的值解：（1）如图在AD上截取AEAB，连接BE，BAC120，BAC的平分线交O于点D，DBCDAC60，DCBBAD60，ABE和BCD都是等边三角形，DBEABC，ABBE，BCBD，BEDBAC（SAS），DEAC，ADAE+DEAB+AC；故答案为：AB+ACAD（2）AB+ACAD理由如下：如图，延长AB至点M，使BMAC，连接DM，四边形ABDC内接于圆O，MBD=ACD，BAD=CAD=45，BD=CD，MBDACD（SAS），MD=AD，M=ACD=45，MDADAM，即AB+BM，AB+AC；（3）如图，延长AB至点N，使BNAC，连接DN，四边形ABDC内接于O，NBDACD，BADCAD，BDCD，NBDACD（SAS），NDAD，NCAD，NNADDBCDCB，NADCBD，又ANAB+BNAB+AC，BC5，BD4，5.（2019岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C处点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN（1）如图1，求证：BEBF；（2）特例感知：如图2，若DE5，CF2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DEa，CFb如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系（不要求写证明过程）（1）证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC，DEFEFB，由翻折可知：DEFBEF，BEFEFB，BEBF（2）解：如图2中，连接BP，作EHBC于H，则四边形ABHE是矩形，EHABDEEBBF5，CF2，ADBC7，AE2，在RtABE中，A90，BE5，AE2，AB，SBEFSPBE+SPBF，PMBE，PNBF，BFEHBEPM+BFPN，BEBF，PM+PNEH，四边形PMQN是平行四边形，四边形PMQN的周长2（PM+PN）2（3）证明：如图3中，连接BP，作EHBC于HEDEBBFa，CFb，ADBCa+b，AEADDEb，EHAB，SEBPSBFPSEBF，BEPMBFPNBFEH，BEBF，PMPNEH，四边形PMQN是平行四边形，QNQM（PMPN）如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QMQNPNPM6.（2019常德）在等腰三角形ABC中，ABAC，作CMAB交AB于点M，BNAC交AC于点N（1）在图1中，求证：BMCCNB；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PEAB交CM于点E，作PFAC交BN于点F，求证：PE+PFBM；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PEAB交CM的延长线于点E，作PFAC交NB的延长线于点F，求证：AMPF+OMBNAMPE证明：（1）ABAC，ABCACB，CMAB，BNAC，BMCCNB90，在BMC和CNB中，BMCCNB（AAS）；（2）BMCCNB，BMNC，PEAB，CEPCMB，PFAC，BFPBNC，+1，PE+PFBM；（3）同（2）的方法得到，PEPFBM，BMCCNB，MCBN，ANB90，MAC+ABN90，OMB90，MOB+ABN90，MACMOB，又AMCOMB90，AMCOMB，AMMBOMMC，AM（PEPF）OMBN，AMPF+OMBNAMPE7.（2019连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由问题探究：在“问题情境”的基础上（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F求AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将APN沿着AN翻折，点P落在点P处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求PS的最小值问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，CN交AD于点F分别过点A、F作AGMN，FHMN，垂足分别为G、H若AG，请直接写出FH的长问题情境：解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MBEC；理由如下：四边形ABCD是正方形，ABEBCD90，ABBCCD，ABCD，过点B作BFMN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：四边形MBFN为平行四边形，NFMB，BFAE，BGE90，CBF+AEB90，BAE+AEB90，CBFBAE，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），BECF，DN+NF+CFBE+EC，DN+MBEC；问题探究：解：（1）连接AQ，过点Q作HIAB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：四边形ABCD是正方形，四边形ABIH为矩形，HIAD，HIBC，HIABAD，BD是正方形ABCD的对角线，BDA45，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，AHQI，MN是AE的垂直平分线，AQQE，在RtAHQ和RtQIE中，RtAHQRtQIE（HL），AQHQEI，AQH+EQI90，AQE90，AQE是等腰直角三角形，EAQAEQ45，即AEF45；（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：则APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P与点D重合；设点P与点O重合时，则点P的落点为O，AOOD，AOD90，ODAADO45，当点P在线段BO上运动时，过点P作PGCD于点G，过点P作PHCD交CD延长线于点H，连接PC，点P在BD上，APPC，在APB和CPB中，APBCPB（SSS），BAPBCP，BCDMPA90，PCNAMP，ABCD，AMPPNC，PCNPNC，PCPN，APPN，PNA45，PNP90，PNH+PNG90，PNH+NPH90，PNG+NPG90，NPGPNH，PNGNPH，由翻折性质得：PNPN，在PGN和NHP中，PGNNHP（ASA），PGNH，GNPH，BD是正方形ABCD的对角线，PDG45，易得PGGD，GNDH，DHPH，PDH45，故PDA45，点P在线段DO上运动；过点S作SKDO，垂足为K，点S为AD的中点，DS2，则PS的最小值为；问题拓展：解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：则EGAG，PHFH，AE5，在RtABE中，BE3，CEBCBE1，BECQ90，AEBQEC，ABEQCE，3，QEAE，AQAE+QE，AGMN，AGM90B，MAGEAB，AGMABE，即，解得：AM，由折叠的性质得：ABEB3，BB90，CBCD90，BM，AC1，BAD90，BAMCFA，AFCMAB，解得：AF，DF4，AGMN，FHMN，AGFH，AQFP，DFPDAQ，即，解得：FP，FHFP 8.（2019威海）（1）方法选择如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，ABBCAC求证：BDAD+CD小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DMAD，连接AM小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DNAD请你选择一种方法证明（2）类比探究【探究1】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，ABAC试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论【探究2】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD若BC是O的直径，ABC30，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是BDCD+2AD（3）拓展猜想如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD若BC是O的直径，BC：AC：ABa：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是BDCD+AD解：（1）方法选择：ABBCAC，ACB=ABC=60，如图，在BD上截取DM=AD，连接AM，ADB=ACB=60，ADM为等边三角形，AM=AD，ABM=ACD，AMB=ADC=120，ABMACD（AAS），BM=CD，BD=BM+DM=CD+AD；（2）类比探究：如图，BC是O的直径，BAC90，ABAC，ABCACB45，过A作AMAD交BD于M，ADBACB45，ADM是等腰直角三角形，AMAD，AMD45，DMAD，AMBADC135，ABMACD，ABMACD（AAS），BMCD，BDBM+DMCD+AD；【探究2】如图，若BC是O的直径，ABC30，BAC90，ACB60，过A作AMAD交BD于M，ADBACB60，AMD30，MD2AD，ABDACD，AMBADC150，ABMACD，BMCD，BDBM+DMCD+2AD；故答案为：BDCD+2AD；（3）拓展猜想：BDBM+DMCD+AD；理由：如图，若BC是O的直径，BAC90，过A作AMAD交BD于M，MAD90，BAMDAC，ABMACD，BMCD，ADBACB，BACNAD90，ADMACB，DMAD，BDBM+DMCD+AD故答案为：BDCD+AD 9.（2019丹东）已知：在ABC外分别以AB，AC为边作AEB与AFC（1）如图1，AEB与AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF以EF为直角边构造RtEFG，且EFFG，连接BG，CG，EC求证：AEFCGF四边形BGCE是平行四边形（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：如图2，在ABC外分别以AB，AC为斜边作RtAEB与RtAFC，并使FACEAB30，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及DEF的度数（3）小颖受到启发也做了探究：如图3，在ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使CAF+EAB90，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定EAB时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AEm，ABn，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出的值，并用含的代数式直接表示DEF的度数（1）证明：如图1中，EFC与AFC都是等腰直角三角形，FAFC，FEFG，AFCEFG90，AFECFG，AFECFG（SAS）AFECFG，AECG，AEFCGF，AEB是等腰直角三角形，AEBE，BEA90，CGBE，EFG是等腰直角三角形，FEGFGE45，AEF+BEG45，CGE+CGF45，BEGCGE，BECG，四边形BECG是平行四边形（2）解：如图2中，延长ED到G，使得DGED，连接CG，FG点D是BC的中点，BDCD，EDBGDC，EBGC，EBDGCD，在RtAEB与RtAFC中，EABFAC30，EBD2+60，DCG2+60，GCF36060（2+60）3360120（2+3）360120（1801）60+1，EAF30+1+3060+1，GCFEAF，CGFAEF，CFGAFE，EFGCFG+EFCAFE+EFC90，tanDEF，DEF30，FGEG，EDEG，EDFG，（3）如图3中，延长ED到G，使得DGED，连接CG，FG作EHAB于H，连接FDBDDC，BDECDG，DEDG，CDGBDE（SAS），CGBEAE，DCGDBE+ABC，G