导数的综合题.doc

1、已知函数（1）讨论函数的单调单调性； （2）当时，若函数在区间上的最大值为28，求的取值范围2、已知函数.（）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（）求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围 16、已知函数（）若函数依次在处取到极值求的取值范围若，求的值（）若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值3、已知 （1）若存在单调递减区间，求的取值范围； （2）若时，求证成立； （3）利用（2）的结论证明：若4、 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进 行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求 用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域的边界交 于点M、N，切曲线于点P，设文档收集自网络，仅用于个人学习 ( I)将（O为坐标原点）的面积S表示成f的函数S(t)； (II)若，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值5、已知函数在处取得极小值（）若函数的极小值是，求；（）若函数的极小值不小于，问：是否存在实数k，使得函数在上单调递减.若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.文档收集自网络，仅用于个人学习6、二次函数的图象过点 ，且在处切线的斜率为3（1）求函数的解析式；（2）若函数的在区间上不单调，求实数的取值范围；（3）若对任意的，都有（其中且）成立，求的取值范围7、 近年来,某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数). 记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和. 文档收集自网络，仅用于个人学习(1)试解释的实际意义, 并建立关于的函数关系式;(2)当为多少平方米时, 取得最小值?最小值是多少万元?8、已知函数.(1) 求曲线在点处的切线方程；(2) 求证：函数存在单调递减区间，并求出单调递减区间的长度 的取值范围.9、已知函数(1) 当时, 求函数的单调增区间；(2) 求函数在区间上的最小值；(3) 在()的条件下，设,证明：.参考数据：.10、已知函数(a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值，对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围；若函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围.11、 对于定义在上的函数，若存在，对任意的，都有或者，则称为函数在区间上的“下确界”或“上确界” 文档收集自网络，仅用于个人学习（）求函数在上的“下确界”；（）若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数在上的“极差”， 试求函数在上的“极差”；（）类比函数的“极差”的概念， 请求出在上的“极差”12、已知函数(）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；(）讨论函数的单调区间；(）若对于任意的，都有，求实数的取值范围.13、已知函数（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求在上的最大值和最小值；（3）当时，求证对任意大于1的正整数，恒成立.14、已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数单调递增区间；（3）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.15、已知，且直线与曲线相切（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；（3）求证：16、已知函数（）若函数依次在处取到极值求的取值范围；若，求的值（）若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值17、已知,函数（1）判断函数在上的单调性； （2）是否存在实数 ，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由18、已知函数f（x）=x2ax+a（aR）的图象与x轴相切，且在定义域内存在0x1x2，使得不等式f（x1）f（x2）成立文档收集自网络，仅用于个人学习（I）求函数f（x）的表达式；（II）设函数g（x）=xf（x），求g（x）的极值；（III）设函数h（x）=g（x）+xk，当h（x）存在3个零点时，求实数k的取值范围19、已知，（注：e是自然对数的底）（1）当时，求的极值；（2）求的单调区间；（3）若存在，使得对任意的，恒成立，求实数的取值范围20、已知函数，为正常数 ()若，且，求函数的单调增区间； () 若，且对任意，都有，求的取值范围21、已知函数在区间，上单调递增，在区间2，2上单调递减 （1）求的解析式； （2）设，若对任意的x1、x2不等式恒成立，求实数m的最小值。22、已知函数。（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若且对任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：23、函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点(1,1)为函数f(x)的驻点，则称f(x)具有“11驻点性”.文档收集自网络，仅用于个人学习（1）设函数f(x)=-x+2+alnx，其中a0。求证：函数f(x)不具有“11驻点性”；求函数f(x)的单调区间（2）已知函数g(x)=bx3+3x2+cx+2具有“11驻点性”，给定x1，x2R，x1x2，设为实数，且-1，文档收集自网络，仅用于个人学习=，=，若|g()-g()|g(x1)-g(x2)|，求的取值范围.24、已知函数f（x）= alnxbx2图象上一点P（2，f（2）处的切线方程为y=3x +21n2 +2文档收集自网络，仅用于个人学习 （ I）求a，b的值； （）若方程f（x）+m =0在，e内有两个不等实根，求m的取值范围（e为自然对数的底数）； （）令g（x）=f（x）kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1x2），AB的中点为C（xO，0），求证：g（x）在xO处的导数g（xO）0文档收集自网络，仅用于个人学习25、已知函数的导函数是, 对任意两个不相等的正数, 证明: (1)当时, ; (2)当时, .26、设，函数， ，（1）当时，求函数的值域；（2）试讨论函数的单调性27、 已知函数 （1）若有两个不同的极值点，求a的取值范围； （2）当时，表示函数上的最大值，求的表达式； （3）求证：。28、已知函数，(1)若，求函数的单调区间；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：29、已知为函数图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率.（I）若函数在区间上存在极值，求实数m的取值范围；（II）当 时，不等式恒成立，求实数t的取值范围；（III）求证.30、设函数.（）求的单调区间；（）若，且在区间内存在极值，求整数的值.31、已知函数.（）求函数的极大值.（）求证：存在，使；（）对于函数与定义域内的任意实数x，若存在常数k,b,使得和都成立，则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由.文档收集自网络，仅用于个人学习32、设函数.（）求函数的极值点； （）当p0时，若对任意的x0，恒有，求p的取值范围； （）证明：33、已知函数，其中.（）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（）讨论函数的单调性；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.34、已知函数 （）求函数的单调区间；（）设，求证：对任意，都有35、已知函数，其中（）求的单调区间；（）设若，使，求的取值范围36、知函数 . （）若函数在处取得极值，求的值； （）当时，讨论函数的单调性.37、已知函数，=。()求函数的最小值;()对一切，恒成立，求实数的取值范围；（）证明:对一切，都有成立. 38、 已知函数f(x)lnxmx十m,mR. （I）求f(x)的单调区间； （II）若f(x)0。在x(0，00)上恒成立，求实数m的取值范围（III）在（II）的条件下，任意的0ab，证明：39、已知函数，在点处的切线方程为 （1）求函数的解析式； （2）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值； （3）若过点，可作曲线的三条切线，求实数 的取值范围。40、 .参考答案一、综合题1、 2、3、解：（1） ，有单调减区间有解， 有解， 时合题意时，即 的范围是（2）设 0+0-最大值 有最大值0 恒成立 即成立 （3） 由（2）， 求证成立 二、简答题4、解：（），直线的斜率为，直线的方程为令得 3分令,得, 的面积, 6分（）,因为,由,得, 9分当时, ,当时, . 已知在处, ,故有，故当时, 13分5、（），由知，解得， 4分检验可知，满足题意 6分（）假设存在实数k，使得函数在上单调递减设=0两根为，则由得 的递减区间为由 解得 的递减区间为 由条件有，解得， 10分函数在上单调递减由 所以，存在实数，满足题意。 12分6、（1）解:由得， 1分文档收集自网络，仅用于个人学习由且得 3分所以解析式为 4分（2）的对称轴为，所以在区间上单减，在上单增。若在上不单调则有，即所以实数的取值范围为 8分文档收集自网络，仅用于个人学习（3）当时，在上单增所以 9分文档收集自网络，仅用于个人学习要使对任意的,都有成立，只须满足 10分当时，显然不成立； 11分当时，所以，解得 13分综上所述，的取值范围为 14分文档收集自网络，仅用于个人学习7、解: (1) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费由,得 所以 -8分(2)因为 当且仅当,即时取等号 所以当为55平方米时, 取得最小值为59.75万元 (说明:第(2)题用导数求最值的,类似给分) 8、解：（）函数的定义域为，所以曲线在点处的切线方程为： （）.因为且对称轴为，所以方程在内有两个不同实根，即的解集为，所以函数的单调递减区间为.由于，所以，又所以函数的递减区间长度的取值范围是. 9、解.()当时，或。函数的单调增区间为() ，当，单调增。当，单调减. 单调增。当，单调减， 10、（1）证明：，所以，函数在内至少有一个零点（2）由已知得：所以a=2，所以f（x）=2sinxx+b不等式恒成立可化为：sinxcosxxb记函数g（x）=sinxcosxx，所以在恒成立函数在上是增函数，最小值为g（0）=1所以b1， 所以b的取值范围是（1，+）由得：，所以m0令f（x）=2cosx10，可得函数f（x）在区间（）上是单调增函数，6km3k+1m0，3k+10，6k3k+1 k=0 0m111、解：（） 令，则， 显然，列表有：x 0 (0, x1)x1 (x1, 1) 1 -0+ 极小值 1所以，在上的“下确界”为 . 4分（）当时， ，极差；当时， 极差；当时， ，极差； 当时， ， 极差 ； 当时，极差 ； 当时， , ，极差.综上所述： （） 因为， 当或时等号成立，所以的最大值为1 令，则令，则，令，得是的极大值点，也是的最大值点，从而， 所以 当时等号成立，所以的最小值为 由此 12、（），得切线斜率为据题设，所以，故有所以切线方程为即(）当时，由于，所以，可知函数在定义区间上单调递增当时，若，则，可知当时，有，函数在定义区间上单调递增若，则，可得当时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。综上，当时，函数的单调递增区间是定义区间；当时，函数的单调增区间为，减区间为(）当时，考查，不合题意，舍；当时，由（）知.故只需，即令，则不等式为，且。构造函数，则，知函数在区间上单调递增。因为，所以当时，这说明不等式的解为，即得.综上，实数的取值范围是. 13、（1）由已知得，依题意得对任意恒成立，即对任意恒成立，而（2）当时，令，得，若时，若时，故是函数在区间上的唯一的极小值，也是最小值，即，而，由于，则14、因为存在，使得成立，而当时，所以只要即可 又因为，的变化情况如下表所示：减函数极小值增函数所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值因为，令，因为，所以在上是增函数而，故当时，即；当时，即所以，当时，即，函数在上是增函数，解得；当时，即，函数在上是减函数，解得综上可知，所求的取值范围为。12分15、解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有 （*）， （*）由（*）、（*）两式，解得， 由整理，得，要使不等式恒成立，必须恒成立 设，当时，则是增函数，是增函数， 因此，实数的取值范围是 （2）当时，在上是增函数，在上的最大值为要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，解得因此，的最大值为 （3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，即 令，得， 化简得， 16、17、18、考点：函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值文档收集自网络，仅用于个人学习专题：导数的综合应用分析：（I）由题意，令=a24a=0，解得a=0或4再分别验证是否符合条件即可；（II）g（x）=xf（x）=x34x2+4x，g（x）=3x28x+4，令g（x）=0，解得或2列表如下：即可得出极值（III）h（x）=g（x）+xk=x34x2+5xk，h（x）=3x28x+5，令h（x）=0，解得或1可知h（x）极大值=h（1），由题意h（x）存在3个零点，则，解出即可解答：解：（I）由题意，令=a24a=0，解得a=0或4当a=0时，f（x）=x2，在（0，+）单调递增，不符合题意；当a=4时，f（x）=（x2）2，在区间（0，2）上单调递减，符合题意f（x）=x24x+4（II）g（x）=xf（x）=x34x2+4x，g（x）=3x28x+4，令g（x）=0，解得或2列表如下：=，g（x）极小值=g（2）=0（III）h（x）=g（x）+xk=x34x2+5xk，h（x）=3x28x+5，令h（x）=0，解得或1可知h（x）极大值=h（1），由题意h（x）存在3个零点，则，解得所以实数k的取值范围是点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点等是解题的关键19、解：（1）由得，1分令，得 3分所以无极大值4分（2）由题意可得f（x）的定义域为（0，+），5分a2，a11 当a10，即a1，x（0，1）时，f（x）0，f（x）是减函数，x（1，+）时，f（x）0，f（x）是增函数；7分当0a11，即1a2，x（0，a1）（1，+）时，f（x）0，f（x）是增函数，文档收集自网络，仅用于个人学习 x（a1，1）时，f（x）0，f（x）是减函数；9分综上所述，当a1时，f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+）；当1a2时，f（x）的单调减区间是（a1，1），单调增区间是（0，a1），（1，+）；（3）由题意，存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，等价于对任意x1e，e2及x22，0，f（x）ming（x）min，10分文档收集自网络，仅用于个人学习由（1），当a2，x1e，e2时，f（x）是增函数，f（x）min=f（e）=11分文档收集自网络，仅用于个人学习g（x）=x（1ex），对任意的x22，0，g（x）0g（x）是奇函数，g（x）min=g（0）=113分a214分20、解：（） ， ，令，得，或， 函数的单调增区间为， （），设，依题意，在上是减函数10.当时， ，令，得：对恒成立，设，则，在上是增函数，则当时，有最大值为，20.当时， ，令，得： ， 设，则，在上是增函数，综合10，20，又在上是图形连续不断的21、 （）已知条件等价于在上为减函数，且上为减函数，又22、（2）为偶函数，恒成立等价于对恒成立当时，令，解得（1）当，即时，在减，在增，解得，（2）当，即时，在上单调递增，符合，综上，。（3）。23、解：（）=-1+ =-1+1+a0，函数f(x)不具有“11驻点性”.2分由= ()当a+0,即a-时，0.f(x)是(0,+)上的减函数； ()当a+=0,即a=-时，显然0.f(x)是(0,+)上的减函数；4分文档收集自网络，仅用于个人学习()当a+0，即a-时，由=0得=6分当-a0时，-0x(0, a+-)时，0; x( a+-, a+)时，0; x( a+, +)时，0; 当a0时，-0 x(0, a+)时，0; x( a+,+)时，0; 综上所述：当a-时，函数f(x)的单调递减区间为(0,+)； 当-a0时，函数f(x)的单调递减区间为(0, a+-)和( a+,+)，函数f(x)的单调递增区间为( a+-, a+)；当a0时,函数f(x)的单调递增区间为(0, a+)，函数f(x)的单调递减区间为( a+, +)；9分（）由题设得：=3bx2+6x+c,g(x)具有“11驻点性”且即解得=-3x2+6x-3=-3(x-1)20，故g(x)在定义域R上单调递减.当0时，有=x1，=x2，即x1,x2),同理(x1,x2 11分文档收集自网络，仅用于个人学习由g(x)的单调性可知：g()，g() g(x2),g(x1)|g()-g()|g(x1)-g(x2)|与题设|g()-g()|g(x1)-g(x2)|不符.文档收集自网络，仅用于个人学习当-10时，=x1，=x213分即x1x2g()g(x2)g(x1)g()|g()-g()|g(x1)-g(x2)|，符合题设文档收集自网络，仅用于个人学习当-1时，=x2, =x1，即x1x2g()g(x2)g(x1)g()|g()-g()|g(x1)-g(x2)|也符合题设 15分文档收集自网络，仅用于个人学习由此，综合得所求的的取值范围是0且-124、 25、略解：（1） .，而,又,得,又,得,由于,故.所以.所以.（2），故 ，下面证明：成立.法1：. 令，则，可知.即.法2：即 由于.令，则，可知.故成立.26、解:（1），当时，即时，最小值为2当时，在上单调递增，所以 所以时，的值域为（2）依题意得若，当时，递减，当时，递增若，当时，令，解得， 当时，递减，当时，递增 当时，递增若，当时，递减 当时，解得， 当时，递增， 当时，递减，对任意，在上递减综上所述，当时，在或上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在，上单调递减；当时，在上单调递减27、【考点分析】本小题主要考查导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性、极值、不等式的证明等基础知识，考查运算能力以及分类讨论的数学思想方法.文档收集自网络，仅用于个人学习解：（1）（法一）设，当时若，由，易知在时恒成立，无极值点.若，设的两根为且。,故有0-0+当时，函数有两个极值点。4分（法二）1分设，有两个极值点有两个大于的不等实根，当时，函数有两个极值点。4分（2）当时，由（1）知，在为减函数，在为增函数，在上的的最大值为或，设，故，.（3）由（2）知在上有最大值，且