特征值与特征向量(第二讲)_第1页
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文档简介

一、特征值与特征向量,二、特征值与特征向量的求法,7.4特征值与特征向量,三、特征子空间,四、特征多项式的有关性质,是矩阵A的特征值，,非零向量是A的属于特征值5的特征向量,例如设,例,解,试确定是否为A的特征向量。,特征值3的特征向量,属于“-1”的全体特征向量,属于“5”的全体特征向量,练习1：已知为A的一个特征值，则,（1）必有一个特征值为;,（2）必有一个特征值为;,（3）A可逆时，必有一个特征值为;,（4）A可逆时，必有一个特征值为.,（5）则必有一个特征值为.,对角矩阵的特征值就是对角线上的元素,补充结论：,三角形矩阵的特征值亦为主对角线上各元素,行列式.,练习2：已知3阶方阵A的特征值为：1、1、2，,则矩阵的特征值为：，,(定理6)相似矩阵具有相同的特征多项式.,于是，,证:设则存在可逆矩阵X，使得,相似矩阵,相同的特征多项式；,相同的特征值；,相同的迹；相同的行列式,上述结果逆命题不成立,若n阶矩阵A和B相似，则它们有相同的特征多项式和特征值。,问,是否相似？,答：对角矩阵A的所有特征值1,2,3,三角矩阵B的所有特征值1,4,3，不完全相同，不相似。,问是否相似？,若n阶矩阵A和B相似，则它们有相同的特征多项式和特征值。,分析：显然E与B有相同的特征值1,1，,任取可逆矩阵P，,练习：设,解：,练习：设,注：,成是矩阵A的特征值与特征向量.,多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说,因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征,由定理6线性变换的特征值与基的选择无关.,设为A的特征多项式,则,哈密尔顿凯莱（HamiltonCaylay）定理,则A的特征多项式,设为A的特征多项式,则,哈密尔顿凯莱（HamiltonCaylay）定理,设为有限维线性空间V的线性变换，是,的特征多项式，则,例4.设求,解：A的特征多项式,把矩阵A代入上式,7.4特征值与特征向量,特征向量的性质（课本300页定理8）,1.属于不
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