2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示讲义苏教版.docx

3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法(重点、难点)2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行(重点)3.基向量的选取及应用(易错点)1.借助空间向量的坐标运算，提升数学运算素养2.通过空间向量基本定理的运用，培养数学抽象素养.1空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使pxe1ye2ze3.2基底、基向量在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把e1，e2，e3称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量3正交基底、单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示4空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得xz.5空间向量的坐标运算(1)空间向量的坐标在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(a2a1，b2b1，c2c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标(2)空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量的加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)向量的减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘向量a(a1，a2，a3)，R向量平行ab(a0)b1a1，b2a2，b3a3，R思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组x，y，z是否唯一？提示(1)不能因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面(2)唯一确定1在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是()A.，B.，C.， D.，C由题意知，不共面，可以作为空间向量的一个基底2已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于()A(16,0,4)B(8，16,4)C(8,16,4)D(8,0,4)D4a(12，8,4)，2b(4,8,0)，4a2b(8,0,4)3设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_a(4，8,3)b(2，3,7)由题意知a(4，8，3)，b(2，3,7)4设a(1,2,3)，b(2,2，2)，若(kab)(ab)，则k_.1kabk(1,2,3)(2,2，2)(k2,2k2,3k2)，ab(1,4,1)(kab)(ab)，3k2，解得k1.基底的判断【例1】(1)若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是_(填序号)a，ab，ab；b，ab，ab；c，ab，ab；ab，ab，a2b(2)若e1，e2，e3是空间的一个基底，且向量2e1e2e3，e1e22e3，ke13e22e3不能作为空间的一组基底，则k_.思路探究(1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)，共面，利用共面向量定理求解解析(1)若c，ab，ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a，b，c为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底(2)因为，不能作为空间向量的一组基底，故，共面由共面向量定理可知，存在实数x，y，使xy，即ke13e22e3x(2e1e2e3)y(e1e22e3)故解得x，y，k5.答案(1)(2)5基底的判断判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断用基底表示空间向量【例2】如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，试用向量a，b，c表示向量.思路探究解，()(bc)，()()a(bc)，(bc)a(bc)a，即a.用基底表示向量的技巧1定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底2找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果3下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量1如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，设a，b，c，P是CA1的中点，M是CD1的中点用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2).解如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，连接AC，AD1，(1)()()(abc)(2)()(2)abc.空间向量的坐标运算探究问题1如何建立空间直角坐标系？提示(1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手直角坐标系建系，如图所示2如何运用空间向量的坐标运算解决几何问题？提示运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论【例3】如图，在长方体OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点P在棱AA1上，且AP2PA1，点S在棱BB1上，且SB12BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点求证：PQRS.思路探究以O为原点，以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，确定，的坐标，利用向量共线证明解如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)PA2PA1，SB12BS，Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S.于是，.RPQ，PQRS.两向量平行的充要条件有两个：ab，依此既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值2已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，1,2)，B(1，2，1)，C(1,1，3)，D(3，5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形证明(1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，(3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)，与共线，即ABCD.又(3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，(1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)，与不平行四边形ABCD为梯形1基底中不能有零向量因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量2空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标3用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b，c为空间一个基底，且pxaybzc.若p0，则xyz0.()(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面()(3)以原点O为起点的向量的坐标和点P的坐标相同()(4)若(2,3,0)，则点P在平面xOy内()答案(1)(2)(3)(4)2在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A向量的坐标与点B的坐标相同B向量的坐标与点A的坐标相同C向量与向量的坐标相同D向量与向量的坐标相同D因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于，故D正确3已知向量a(1,0,2)，2ab(0,1,3)，则b_.(2,1，1)b(2ab)2a(0,1,3)2(1,0,2)(2,1，1)4设a(2,3,0)，b(3，2,1)，计算2a