高考数学一轮复习专题11.3证明练习（含解析）.docx

11.3 证明【套路秘籍】-千里之行始于足下一直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法(2)一般形式ABC本题结论(3)综合法定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为综合法推证过程(4)分析法定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法常称为分析法推证过程二间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等(2)反证法的基本步骤反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 综合法【例1】已知，且，求证：.【答案】证明见解析【解析】由,得，即，所以，所以，故原等式成立【举一反三】1已知函数f(x)=(xa-a)lnx(a0).（1）若函数f(x)在1,+)上是增函数，求正数a的取值范围；（2）当a1时，设函数f(x)的图象与x轴的交点为A，B，曲线y=f(x)在A，B两点处的切线斜率分别为k1，k2，求证：k1+k20)，f(x)=xlnx+x-a2ax，设g(x)=xlnx+x-a2，函数f(x)在1,+)上是增函数，g(x)=xlnx+x-a20在1,+)上恒成立，即a2xlnx+x在1,+)上恒成立，设h(x)=xlnx+x，则h(x)=lnx+2，x1，h(x)2，h(x)=xlnx+x在1,+)上是增函数，h(x)1，由a2xlnx+x在1,+)上恒成立，得a21，a0，0a1，即a的取值范围是(0,1.（2）a1，由f(x)=(xa-a)lnx=0，得x1=1，x2=a2，不妨设A(1,0),B(a2,0). f(x)=xlnx+x-a2ax，k1=1-a2a，k2=lna2a，k1+k2=lna2-a2+1a，设F(x)=lnx-x+1，则F(x)=1-xx，0x0，x1时，F(x)0且a1，a20且a21，F(a2)=lna2-a2+10，k1+k2=lna2-a2+1alg alg blg c.【答案】见解析【解析】证明a，b，c(0，)，0，0，0.由于a，b，c是不全相等的正数，上述三个不等式中等号不能同时成立，abc0成立上式两边同时取常用对数，得lglg(abc)，lglglglg alg blg c.考向二 分析法【例2】11已知，且，试用分析法证明不等式【答案】见解析【解析】要证，只需证，只需证，因为只需证，只需证，即证或，只需证，而由，可得，所以【举一反三】1（1）已知a0，b0，用分析法证明：ab+baa+b；（2）已知a0，用分析法证明：a2+1a2-2a+1a-2【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析【解析】（1）要证ab+baa+b，只需证aa+bbab+ba，即证a-ba-b0，因为a0，b0，a-b与a-b同号，所以a-ba-b0成立，所以ab+baa+b成立（2）要证a2+1a2-2a+1a-2，只要证a2+1a2+2a+1a+2因为a0，故只要证a2+1a2+22a+1a+22，即证a2+1a2+4a2+1a2+4a2+2+1a2+22a+1a+2，从而只要证2a2+1a22a+1a，只要证4a2+1a22a2+1a2+2，即证a2+1a22，而上述不等式显然成立，故a2+1a2-2a+1a-2考向三 反证法【例3】设，且，用反证法证明：至少有一个大于。【答案】见证明【解析】证明：（反证法） 假设结论不成立，即，而这与相矛盾故至少有一个大于。【套路总结】应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果【举一反三】1（1）已知，试用反证法证明：中至少有一个不小于1；（2）已知实数，满足，求证：，中至少有一个是负数【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析【解析】（1）假设均小于1，即，则有，而，与假设矛盾，所以假设不成立，故中至少有一个不小于1（2）假设，这与相矛盾，所以原假设不成立，故中至少有一个是负数考向四 数学归纳法【例4-1】用数学归纳法证明：(nN*)【答案】见解析【解析】证明当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立假设nk(kN*，k1)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立由可知，对于一切nN*等式都成立【例4-2】用数学归纳法证明不等式：1(nN*且n1)【答案】见解析【解析】证明当n2时，1成立设nk(kN*，k1)时，1成立由于当k1时，k2k10，即k(2k1)k22k1，则当nk1时，1111.综合可知，原不等式对nN*且n1恒成立【套路总结】1由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法2用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设nk(kN*，kn0)时命题成立，证明当nk1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论【举一反三】1用数学归纳法证明：1(nN*)【答案】见解析【解析】证明当n1时，等式左边1右边，等式成立假设当nk(kN*)时，等式成立，即1，那么，当nk1时，有1，所以当nk1时，等式也成立由知，等式对任何nN*均成立2.求证：对一切正整数n,42n13n2都能被13整除【答案】见解析【解析】证明当n1时，421131291能被13整除假设当nk(kN*)时，42k13k2能被13整除，则当nk1时，42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)，42k113能被13整除，42k13k2能被13整除，当nk1时也成立，由可知，当nN*时，42n13n2能被13整除【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1用反证法证明命题：“，且，则中至少有一个负数”时的假设为A全都大于等于0B全为正数C中至少有一个正数D中至多有一个负数【答案】A【解析】因为原结论为“中至少有一个负数”所以其否定为“中全都大于等于0”所以选A2利用反证法证明：若，则，假设为()A都不为0B不都为0C都不为0，且D至少有一个为0【答案】B【解析】的否定为，即，不都为0，选B.3用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（）ABCD【答案】A【解析】假设时命题成立，即：被3整除当时，故选：A4用数学归纳法证明命题“”时,在作归纳假设后,需要证明当时命题成立,即需证明 ( )ABCD【答案】B【解析】将题目中的，改为，即，故选B.5数学归纳法证明1n+1+1n+2+1n+n12(n1,nN*)，过程中由n=k到n=k+1时，左边增加的代数式为（ ）A12k+2B12k+1C12k+1+12k+2D12k+112k+2【答案】D【解析】当n=k时，左边的代数式为1k+1+1k+2+1k+k，当n=k+1时，左边的代数式为1k+2+1k+3+1k+k+12k+1+12k+2，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：12k+1+12k+2-1k+1=12k+1-12k+2，故选D6（1）求证（2）设x，y都是正数，且x+y2证明：和中至少有一个成立【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）=（13+2）-（13+4）=，；（2）假设和都不成立，即2且2，x，y都是正数，1+x2y，1+y2x，1+x+1+y2x+2y，x+y2，这与已知x+y2矛盾，假设不成立，即和中至少有一个成立7计算：，；所以；又计算：，；所以，（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题；（2）判断该命题的真假。若为真，请用分析法给出证明；若为假，请说明理由【答案】（1）；（2）真命题【解析】（1）一般性的命题：是正整数，则（2）命题是真命题。因为因为所以.8已知，求证：（1）；（2）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）因为，所以，所以得证.（2）欲证明成立，即证明成立，又即证明成立，即证明成立，即证明成立，即证明成立，即证明成立.故不等式成立得证.9（1）用分析法证明；（2）已知为正实数，请用反证法证明：与中至少有一个不小于2【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）要证，只需证，即证，即证，即证1418，而1418是成立的，（2）假设结论不成立，则，即，即.即，矛盾！故假设不成立，与中至少有一个不小于210（1）已知，都是正数，并且，求证：；（2）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）因为，都是正数，所以，又，所以，所以，所以，即.（2）假设和都不成立，即和同时成立.且，.两式相加得，即.此与已知条件相矛盾，和中至少有一个成立.11已知函数及函数g（x）bx（a，b，cR），若abc且a+b+c0（1）证明：f（x）的图象与g（x）的图象一定有两个交点；（2）请用反证法证明：；【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明由得 , 有两个不相等的实数根，即两函数图像一定由两个交点,（2）证明：若结论不成立，则-2或-（I）由-2，结合（1）a0，得c-2a，即a+c-a，-b-a ab 这与条件中ab矛盾（II）再由-，得2c-a，即c-(a+c)=bbc 这与条件中bc矛盾 故假设不成立，原不等式成立12已知，其前项和为.（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】（1）计算，.（2）猜想.证明：当时，左边，右边，猜想成立.假设猜想成立，即成立，那么当时，而，故当时，猜想也成立.由可知，对于，猜想都成立.13已知数列满足，()求的值，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明；()令，求数列的前项和.【答案】() 见解析；() 【解析】()当时，当时，当时，猜想，下面用数学归纳法证明 当时，猜想成立，假设当()时，猜想成立，即则当时，猜想成立综上所述，对于任意，均成立()由（）得 由得：14已知数列，且为该数列的前项和.（1）写出数列的通项公式；（2）计算，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（3）求数列的前项和的取值范围.【答案】（1）；（2），证明见详解；（3）.【解析】（1）根据题意可得；（2）；可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为.于是可以猜想.下面我们用数学归纳法证明这个猜想.当时，左边，右边，猜想成立.假设当时猜想成立，即.所以，当时猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何都成立.（3）由（2）知，因为，所以，则，即，所以.15已知，.（1）当时，分别比较与的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想与的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】证明（1）当时，当时，当时，.（2）猜想：，即.下面用数学归纳法证明：当时，上面已证.假设当时，猜想成立，即，则当时，.因为，所以，所以，当时猜想也成立.综上可知：对，猜想均成立.16（1）用数学归纳法证明：；（2）已知，且，求证：和中至少有一个小于【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）当时，左边，右边，左边右边假设时等式成立，即，那么当时，即当时，等式成立综上，（2）假设，因为，所以，所以，故，这与矛盾，所以原假设不成立，故和中至少有一个小于17（1）用数学归纳法证明123252(2n1)2n(2n1)(2n1)(nN*)（2）命题P：对于任意实数都有恒成立；命题Q：关于的方程有实数根；若命题为假命题，且命题为真命题， 求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）(，0)【解析】（1）证明：当时，左边，右边，等式成立；假设当时，等式成立，即123252(2k1)2k(2k1)(2k1)(kN*)，则当n=k+1时123252(2k1)2(2k1)2k(2k1)(2k1)(2k1)2 (2k1)k(2k1)3(2k1)(k1)2(k1)12(k1)1,即当时等式也成立；由、可知对任意的nN*等式都成立.（2）对任意实数x都有ax2ax10恒成立a0或0a4.关于x的方程x2xa0有实数根14a0a.由题，P,Q一真一假如果P正确，Q不正确，有0a，所以a