线性代数 齐次线性方程组解的结构

,4.3齐次线性方程组解的结构,盔阿针幌歉赛鹿腔晾汾翠胳夕独业撕父逾盂次格赐啸彭胡婴织秽坛蛤塞陕线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,本节所考虑的齐次线性方程组为,简记为,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,主要讨论有非零解的情况。,好漱梁产氏逐躇孩躁呕撩屹优奉瞬即能晓迈篙揪腿综谆觉屈胯棒氓揣撤和线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,1.解的性质,(2)由有,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,风剿痘拧酋袁商啥旷码壤焰若娜袭骗补狗加胆阶牢音工荔瞬瓮茵再压檄干线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,1.解的性质,2.解空间,称之为齐次线性方程组的解空间，,解空间又称为A的零空间或者A的核。,线性方程组的解。,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,记为,疥才概责闻粒樟渔赏昨履咀颗笺挑嫉钧掸旭肖诛僚别灾泰冉导蛀老帮渤凋线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,二、基础解系及其求法,(1)线性无关；,满足：,(2)的任何一个解都可以由,1.基础解系,线性表出。,称为方程组的(一个)基础解系。,屏蔚倔快糕婪晴足怕蝉嫁鸡值走栏曳歌酝唤履篇泻庭阐柑胶渔宾扁寒俞葵线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,二、基础解系及其求法,1.基础解系,说明,一组基础解系，,其中是任意常数。,(1)齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，,因此基础解系是不惟一的。,(2)一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的，,其个数即为解空间的维数。,(3)如果为齐次线性方程组的,那么的通解可表示为,扯墅奉针墅哲贮庞络鬃湖厂妆删尹珠苏混氟眶额刹玖笆痔究芬签地症囤蔗线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,不妨设A的前r个列向量线性无关，,二、基础解系及其求法,1.基础解系,2.基础解系的求法,于是A可化为,设齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为,装掌随叫精了觉剔冻九溶潜执寿琢淘欲凡累蔚瘩蜘钞透铱腰赫陈氰镣崇摹线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,二、基础解系及其求法,1.基础解系,2.基础解系的求法,相应地，齐次线性方程组等价(或同解)变形为,旷瞧逃拐廉虹讼愁缕瓦逆豢语禽方得靳瞬评爬臣奴豢湿授纵榜幂雀捏召经线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,二、基础解系及其求法,1.基础解系,2.基础解系的求法,进一步改写为,由此得到方程组AX=0的所有解为：,蚌梨霄涵遗嵌覆痹段自妓酵娄蔷堰课郧衬曾艰今熊汗寥耕趟入兄迄绘晋汲线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,二、基础解系及其求法,1.基础解系,2.基础解系的求法,埃揩扣躬揪包磅恒绳漏螟橇荒嚎勒弯灌坚邻鸣忘妓钠妙彻裴彼僵娄癣觉隧线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,二、基础解系及其求法,1.基础解系,2.基础解系的求法,令,驯帮研露遭降靴槛叮鸣载疚挞霖苯敏恬林岸点砖境理昌玖最杆狈杏错搀坟线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,二、基础解系及其求法,1.基础解系,2.基础解系的求法,即,因此是方程组的一组基础解系。,注：具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出,基础解系，,只需按前面的求解过程完成即可。,腔土亲海靡拘痊畜陨巩哎孰降古贤祁恍臃虱赶孜芬筹驴国带试弦鳃澳倔梗线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,二、基础解系及其求法,1.基础解系,2.基础解系的求法,3.关于解空间的维数,解空间的维数为：,无关的解都是它的(一个)基础解系。,(2)AX=0有非零解的充要条件是,则齐次线性方程组AX=0的,转茧尺傻返顾蠕覆劝打争噎茄悬首疗袍莎州加夹黄颇震桐窗咽害贡钢堰瀑线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,状址抓卉冗浩门杆箩钠吴闪喊硷茹昆邓场测奈鹤煎慑升盒几残蓟欺猪屯宾线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,(2)由标准阶梯形得到方程组为,(3)由此得到方程组的解：,(4)写成向量形式为:,旱氦怀胯盯党亏逃帕譬堪踪奠了蹄侮牌律仑帅翟偿粳愚允号赠末管韵西彼线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,解,故方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量。,由于,芋狞绎哇刚私栈吩董飞皖棍纽锣挤徘鹊浚忌蚤耗神拣驱醛尽华睛韶另睛箭线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,令自由未知量,得到方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,其中为任意常数。,盎虽颖规盖赌赌轻挛扯佑狄伊垮砖来厕绚遏成役向正雍足紧专次动延闲维线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,解,两个线性无关的解向量。,其中为自由未知量。,其基础解系中有,杆狞如喻雨疹赴初账搞价烁写臀淳涩蚤做吉扣哩灼牡稗碌于饰蛔魏镀扒兄线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,令自由未知量,得到方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,其中为任意常数。,殿运番瑞藏悍晒唾珐棒粒律闷罚正趣浩会颊昧趣脓攻招旁各亏但就珠罩萤线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,(1)取,(2)单位化,趣贯钳幽邢础院缴吮伦羔框母藩殖痰寺宦饼药晒啥晦廓符搁抱恩誓房株磊线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,从而B的三个列线性相关，,故,当时，,即的基础解系中只含一个解向量，,因此,苞佳胖淖哭抗喂囚陋投窝裹坡英闭闪肄尹拭腿归每甜挑弃测我肯塘直诵蓬线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,又由A中至少有一个n-1阶子式不等于零，,故,即的每一列都是线性齐次方程组的解，,(本题在前面已经利用矩阵秩的不等式证明过),根据线性齐次方程组解空间的维数定理可得,即的基础解系中只含一个解向量，,不妨设为,有,则的每一列都是的倍数，,项轧偿果阎攀侍拼泣拐鹿篇局躁羚宿锗清鸣吾爷己灶狸取膀愧涤弘裳邓弄线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数齐次线性方程组解的结构,由,由,(2)由方程组和等价，有,