河南长垣第十中学高中数学第2章2.1.1曲线与方程课件新人教A选修

2.1.1曲线与方程,解析几何在平面上建立直角坐标系：,点P,曲线C,f（x，y）=0,曲线C划分的区域,f（x，y）0）,对应,这些对应关系沟通了几何与代数，使我们可以借助代数方法研究几何问题，也可以借助图形研究代数问题，而联系两者的有力工具是坐标法。,（x，y）,曲线与方程对应包含两方面：,（）曲线上点的坐标都是方程的解,（）以这个方程解为坐标的点都是曲线上的点,试证以（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,证明：（）如点（x0，y0）在圆上，则点（x0，y0）到（a，b）的距离为r，则坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2（）如（x0，y0）满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2，则以（x0，y0）为坐标的点M到（a，b）的距离为r，满足圆的定义，从而点M（x0，y0）在圆上。从而得证。,称这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。,例：证明与两条坐标轴距离的积是常数k（k0）的点的轨迹是xyk。,解析几何主要研究的问题：,（）根据已知条件，求出表示曲线的方程,（）通过曲线的方程，研究曲线的性质。,下面主要探讨求曲线的方程：,一、直接法：求轨迹方程最基本的方法，直接通过建立x，y之间的关系，构成（x，y）即可。,例：设，两点坐标为（，），（，）求线段垂直平分线方程。,(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解；,由（1）、（2）可知，方程是所求轨迹的方程.,（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程的解，那么x1y1=k,即x1y1=k.而x1、y1正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.,证明结论,归纳求曲线方程一般步骤：,（）“建系取点”，由已知几何问题，建立适当的平面直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意一点的坐标。,（）条件列式：据几何条件写出满足题设的点集合,（）代换：将点的坐标带入几何条件（），列出方程f（x，y）,（）化简方程：尽可能通过同解变形化简上述方程。,（）查漏补缺：验证方程所表示的曲线是否所求动点的轨迹。,一般地，由于化简方程是同解变形，上述步骤（）可省略不写。,下面继续探讨求曲线的方程：,二、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。,例：若动点到定点（，）的距离与到定直线y距离的比为定值，求动点的轨迹方程。,下面继续探讨求曲线的方程：,三、代入法：又称相关点法,其特点是：动点M（x，y）的坐标取决于已知曲线C上的点（x0，y0）的坐标，可先用x，y表示x0，y0，再带入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程。,例3：若ABC的两个顶点B，C的坐标分别是（-1，0）和（2，0），顶点A在直线y=x上移动，求ABC重心G的轨迹方程。,下面继续探讨求曲线的方程：,四、参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x，y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。,例4：已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线与y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。,y,归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。,小结：,1.理解曲线的方程与方程的曲线的