河北清河清河中学高一数学《32 等差数列》课件

基础知识一、等差数列的基本概念与公式1如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的等于常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的即d(nN*，且n2)或d(nN*)或an其中d为公差,差,同一个,公差,anan1,an1an,an-1+d,2若an是等差数列，则其通项公式an或变式为an，其中m，nN*，则d(n1)或d(nm)an成等差anpnq，其中p，q，点(n，an)是直线上的的点单调性：d0时，an为数列，Sn有最值；d0时，an为数列，Sn有最值；d0时，an为等差中项：若a，b，c是等差数列，则称b是a，c的，且b故a，b，c成等差.,a1(n1)d,am(nm)d,d,a1d,ydx(a1,d),一群孤立,单调递,增,小,单调递减,大,常数列,2bac,等差中项,3求和公式Snna1.其推导方法是若n为奇数，则Snn；求和公式又可变形为Snpn2qn，其中p，q.即an成等差数列Sn；.说明是以为首项，为公差的等差数列或点(n，)在直线上；点(n，Sn)是在抛物线ypx2qx的图象上的一群的点,倒序相加法,na中,na,a1,pn2qn,a1(n1),a1,ya1(x1),孤立,4若三数成等差，则可设为或；若四数成等差，则设为，其公差为.5an成等差，求Sn的最值：若a10，d0，且满足时，Sn最大；若a10，d0，且满足时，Sn最小；或利用求最值；或利用求最值,a，ad，a2d,ad，a，ad,a3d，ad，,ad，a3d,2d,二次函数,导数,6等差数列的判定方法：(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列；(2)中项公式法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)(nN*)an是等差数列；(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A、B是常数)(nN*)an是等差数列,二、等差数列的性质1aman，d(m，nN*)2在等差数列中，若pqmn，则有apaqam；若2mpq，则有2amapaq，(p，q，m，nN*)3若an，bn均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列pan，anq，anbn也为数列，且公差分别为，,(mn)d,an,等差,pd1,d1,d1d2(d1d2),4在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，anm，an2m，为等差数列，公差为.5等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即Sn，S2nSn，S3nS2n，为等差数列，公差为.6若等差数列的项数为2n,nZ,则有S偶S奇d，.7等差数列的项数为奇数2n1，nZ，则S2n1S奇S偶且a中间项S奇S偶，,md,n2d,n,8an为等差数列，Sn为前n项和，则S2n1(2n1)an，bn为等差数列，Sn为前n项和，则S2n1(2n1)bn，,9通项公式是anAnB(A0)是一次函数的形式，前n项和公式SnAn2Bn(A0)是不含常数项的二次函数的形式(注：当anB时，SnBn),10若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式组来确定n.若a10，d0，Sn有最小值，可由不等式组来确定n.,一、忽视隐含条件失误1首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是.2一个凸n边形的内角成等差数列，最小角为120，公差为5，则凸n边形的边数n为.,9,3已知：数列an中，a11，a22,2an12an3(n2，nN*)判断：an是等差数列吗？解析：a2a11，a3a2(2a23)a2，an不是等差数列,二、忽视讨论失误4设数列an的通项为an2n7(nN*)，则|a1|a2|a15|.三、盲目套用公式失误5数列an中，若Sn2n25n3，则数列an是从第项起成等差数列,153,二,回归教材1.(2009湖南，3)设Sn是等差数列an的前n项和已知a23，a611，则S7等于()A13B35C49D63解析：由等差数列的性质得49，故选C.答案：C,2记等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则S6()A16B24C36D48答案：D3已知an是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列前10项和S10等于()A64B100C110D120答案：B,4等差数列an中，a1a2a50200，a51a52a1002700，则a1为()A12.21B21.5C20.5D20答案：C解析：由题设有解得d1，a120.5.,5(课本P1186题改编)已知an是等差数列，a25，a514.(1)求an的通项公式；(2)设an的前n项和Sn155，求n的值解析：(1)设等差数列an的公差为d，则a1d5，a14d14.解得a12，d3.所以数列an的通项为ana1(n1)d3n1.,(2)数列an的前n项和为=155，化简得3n2n3100，即(3n31)(n10)0，所以n10.,【例1】在等差数列an中，(1)已知a1533，a45153，求a61；(2)已知S848，S12168，求a1和d；(3)已知a610，S55，求a8和S8.分析在等差数列中有五个重要的量，即a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他两个其中a1和d是两个最重要的量，通常要先求出a1和d.,解答(1)方法一：设首项为a1，公差为d，依条件得a6123(611)4217.由anam(nm)d，得a61a4516d153164217.,(2)Snna1n(n1)d，,(3)a610，S55，解方程组得a8a62d102316，S8,拓展提升(1)等差数列问题的一般求解方法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化条件列方程(组)求解(2)等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n，首项a1和第n项an，则利用Sn如果已知项数n，首项a1和公差d，则利用Snna1,(2009福建，3)等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d等于()A1B.C2D3答案：C解析：S36，而a34，a10，d2.,等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050.(1)求通项an；(2)若Sn242，求n.解析：(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得a112，d2.所以an2n10.,(2)由Snna1d，Sn242，得方程12n2242，解得n11或n22(舍去).,【例2】已知数列an，anN*，Sn(an2)2.(1)求证：an是等差数列；(2)若bnan30，求数列bn的前n项和的最小值分析由Sn求出an，进而判断是否满足下列条件之一：an1and；anknb(k0)；Snan2bn(a0),解答(1)an1Sn1Sn(an12)2(an2)2，8an1(an12)2(an2)2，(an12)2(an2)20，(an1an)(an1an4)0，anN*，an1an0，an1an40，即an1an4，数列an是等差数列,(2)由(1)知：a1S1(a12)2，解得a12，an4n2，则bnan302n31.解nN*，n15，an前15项为负值，S15最小，可知b129，d2，S15,总结评述证明数列an是等差数列，若利用anan1d(本题d4)必须说明n2，若利用an1and，则只需指出nN*即可bn2n31已是n的一次函数的形式，直接说明即可,由下列各表达式给出的数列anSna1a2ann2Sna1a2ann21aanan22an1anan2(nN*)其中表示等差数列的是()ABCD答案：A,(2009汕头模拟)已知数列an中，a1，数列an2，(n2，nN*)，数列bn满足bn(nN*)(1)求证数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项与最小项，并说明理由,解析：(1)bn而bn1，bnbn11(nN*且n2)，而b1bn是首项为，公差为1的等差数列,(2)由(1)得bnn设函数f(x)1在区间(，)内f(x)为减函数当x3时，f(x)f(3)1；当x4时，f(x)f(4)3，an的最小值为a31，最大值为a43.,【例3】等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A130B170C210D260命题意图本题主要考查等差数列求和公式的运用，以及等差数列各种性质的灵活运用能力,解法一：将Sm30，S2m100代入Snna1得,解法二：S3m3ma1知，要求S3m只需求ma1即可，由已知两式相减得：ma1d70，S3m210.,解法三：由等差数列的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即SnAn2Bn(A0)(A、B是常数)将Sm30，S2m100代入得解得AS3mA(3m)2B3m210.,解法四：S3mS2ma2m1a2m2a3mS2m(a12md)(a22md)(am2md)S2m(a1a2am)m2mdS2mSm2m2d.由解法一知d代入得S3m210.解法五：根据等差数列性质知：Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，从而有2(S2mSm)Sm(S3mS2m)S3m3(S2mSm)210.,解法六：Snna1上的一串点，由三点(m，共线易知S3m3(S2mSm)210.,解法七：令m1得S130，S2100，从而a130，a1a2100，得到a130，a270，a370(7030)110，S3a1a2a3210.故选C.答案：C总结评述解法一利用函数思想；解法二设而不求整体处理；解法三运用函数思想；解法四利用等差数列任意两项am，an具有关系式aman(mn)d；解法五利用等差数列依次每k项之和仍然成等差数列的性质；解法六是数形结合思想的运用；解法七利用选择题型的逻辑结构，采用赋值法,错解剖析(1)记错性质，误以为Sm，S2m，S3m成等差数列，错选B；(2)误以为Sm，S2m，S3m满足S3mSmS2m，错选A.,(2009宁夏银川一中)已知数列an为等差数列且a1a7a134，则tan(a2a12)的值为()答案：D,解析：由题意可得：3a74，a7tan(a2a12)tan(2a7)tan(tan,(2009北京宣武)在等差数列an中，a12a8a1596，则2a9a10()A24B22C20D8答案：A解析：因为a12a8a1596，所以4a896，a824.又因为2a9a10a8，所以2a9a10a824.,【例4】在等差数列an中，a125，S9S17，问此数列前几项的和最大？分析一本题以数列为核心知识，在考查等差数列基本知识的同时，考查了数列求最值的方法由已知列方程，得出d，从而将Sn转化为关于n的二次函数求最值,解法一S9S1717a1将a125代入可得d2，从而Sn25n(n13)2169，故前13项的和最大，最大值为169.分析二由Snna1利用二次函数图象解决问题,解法二SnSn的图象是开口向下的抛物线上一群孤立的点，最高点的横坐标为13，即S13最大分析三对于等差数列，当a10且为递减数列时，前n项和Sn有最大值，如果数列从第n项开始变号，那么Sn就在此处取得最值,解法三由a125，S9S17，知此数列必递减，且a10a11a12a170，又由等差数列性质有a10a17a11a16a12a15a13a14，4(a13a14)0，数列递减，a13a14，a130a14，故此数列前13项和S13最大,分析四先求出d，然后利用an0，an10，即a12a11a10.以上两式相加得(a1a12)(a7a11)(a12a1)0，由等差数列性质知，12(a1a12)0，即a6a70.同理，由S130，a70.以下同方法二,方法四：等差数列前n项和可表示为SnAn2Bn(A0)，又由第(1)问可知：d0，S130，A0，如图所示，设抛物线与x轴交于x0，则x0(12,13)，其对称轴为x(6,6.5)因此，当n(6,6.5)时取最大值