学生符号运算能力的培养问题分析.doc

精品文档学生符号运算能力的培养问题 各位老师，我们今天讨论一下与“符号感”有关的话题。其实符号在我们的生活中无处不在，如行使在道路上能见到表示道路信息的各种各样的符号；走进商店，也能见到各种标志；就是在数学中，也存在各种符号，如表示三角形、四边形的符号，表示平行、垂直等的符号今天，我们主要围绕着代数中的符号问题，如字母表示数、代数式等展开讨论。关于这个话题，老师们已经看了一些课例，课标对符号感也有比较详尽的说明。在课标中，解释了符号感主要表现在能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。围绕课标关于符号感的要求，新课程的各套教材也设置了相关的内容，如“字母表示数”、“整式、分式的运算”、“因式分解”、“方程与不等式”、“函数”等。教师在使用教材的过程中。对与符号感相关的内容进行设计和教学的过程用，都有自己的想法，如前面几位教师，都从符号感所涉及的数学内容的本质、学生的学习心理等方面做了深刻的分析，进行了巧妙的设计。但是，在实际教学过程中，很多老师对如何理解符号感，如何逐步培养学生的符号感等还有疑惑。今天与我们一起讨论的专家是：南京师范大学 马复 教授，南京市教育局教研室教研员 孙旭东 高级教师，南京树人国际学校高级教师 王丹娅。话题一：符号感的含义和作用。培养学生的符号感看来是太重要了，那么，究竟什么是符号感？符号感的含义是什么？有什么作用？你在编制课标、教材的过程中，一定有深刻的研究，你给我们说说。马：（4分钟）关于符号感1数学符号的特征和种类数学符号具有以下基本特性：抽象性、简洁性、一般性。 抽象性 说数学是极为抽象的，不只是说它研究的是一般规律，事实上，其他学科也研究一般规律如物理学，研究的是自然中的一般物理现象，雷电、运动，决不是哪一个具体的物体特点；生物学，研究的是一般生物特征，也不是哪一个具体的生物。而数学抽象性的一个表现是它的研究对象是抽象的符号：1、a、f（x），等等。这些抽象的符号又几乎可以用来表示任何事物、现象，使得数学可以成为所有科学的基础。很多时候，数学研究表现为对符号的处理：排列、运算等。简洁性 一个现代的符号：a +3a b+3ab +b =(a+b) 所代表的内涵极为丰富，而它通过语言符号、或者过去的（数学）符号来表示是非常复杂的：a cubus p b in a quad.3 p a in b quad p b cubus aequalia cubus如果是更高次幂呢？或者，我们要表示一个很大的数，如果不用科学记数法，简直无法想象。对更复杂的数学运算更是如此。历史上，中国筹算、珠算，表达对象就很复杂，秦九韶会解10次方程，但无法表示解的过程，更不能列n次方程。一般性 现代数学符号几乎适用于所有对象。数学符号的种类可以简单地划分为：名称符号用于表达对象，如函数；关系符号用于表达两个（多个）数学对象之间的数学关系，如垂直、相似、大于等；运算符号用于表示一种运算，如四则运算、积分运算、变换等；逻辑符号表示两个命题之间的等价、推出关系等。 2 数学符号的作用数学符号的作用主要包括：表示数量关系（规律）表示公式、解释关系，说明规律； 延伸思维过程通过实施运算和推理；借助符号，人们可以将看不见的思维过程转化为可视的符号操作过程，便于深入进行思维。解决问题用于建立数学模型的基础，推测结论。话题二：与符号感有关的教学的内容和目标 符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。因此，使学生逐步感受和拥有使用符号的能力是数学课程的一个重要任务。但培养学生的符号感，不是一朝一夕的事情，那么，在培养学生的符号感意识的进程中，各个阶段是如何设计内容，每一个阶段又要达到什么样的目标呢？特别是初中阶段。我们认为，为此必须考虑以下问题。1小学、 初中数学数材中有哪些内容与“符号感”有关；课标中所指的“符号感”主要体现在“数与代数”方面在小学（46年级）的教学内容中就有“式与方程”，其教学具体目标是，要学生在具体情境中会用字母表示数；会用方程表示简单情境中的等量关系；理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程在初中（79年级）的教学内容中，与“符号感”有关的主要内容有：用字母表示数、代数式、有理式及其运算，方程、不等式及其应用、函数及其表示法可以说，初中数学中“数与代数”的所有内容几乎都与“符号感”紧密相连 2“符号感”教学在初中阶段的教学目标：目标一 学会用字母表示数（包括用字母表示运算法则、运算律以及计算公式；用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系）要认识、理解并会利用字母表示数，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表达出来，进一步用数学知识去解决实际问题目标二 理解符号所代表的数量关系和变化规律（使学生在现实情境中理解符号表示的意义、能解释代数式的意义；能用关系式、表格、图象表示变量之间的关系；能从关系式、表格、图象所表示的变量之间的关系中获取所需信息）目标三：会进行符号之间的转换（主要指表示变化之间的表格法、关系式法、图象法和语言表示之间的转换）例如：戴老师课中进行的多种运算。目标四：能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题，会进行符号运算其实，高中阶段的一些内容也有类似的，不过，主要是能力上的要求，如函数是主线，函数符号f(x)、函数关系等；集合语言；代数式的变形等。当然这也说明初中阶段对学生符号感培养的重要性和阶段性。特别地，使用符号的能力是一个重要的数学能力，它包括：有效的使用和操作符号；自觉的、有效的使用符号表示对象；按照既定的规则正确地操作符号的技能；列方程、不等式；选择运算种类、做运算。理解符号所表示对象的含义；理解符号所表示的对象的含义；理解符号运算过程的合理性和基本含义；领悟运算过程或结果中所反映的数学规律；理解、发现运算过程和结果中所蕴含的数学关系、数学结论。话题三：与符号表示有关的实践层面的困惑前面我们谈到了在各个年段培养符号感的目标和要求，特别是初中阶段，围绕课程标准编制各套教材也做了非常深刻的分析，但在实践过程中，仍然存在许多问题。如在讲字母表示数后，谈到：长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，则长方形的面积为ab(cm2)，有学生问，长方形的面积究竟是多大？这里实际就是对代数符号抽象性的理解。学生在此之前一直是仅仅将36、20等视为结果，而ab不看作最终结果。学生在学习符号过程中还有其他许多困难：1不容易真正地认识、理解字母表示数的意义例如：在“字母表示数”的教学中，学生对“a”表示一个数是从具体情境中认识的，此时的a往往表示自然数，这对于初学者来说已是一个认识上的飞跃；但在有理数面前，学生马上又要面对诸如“a是负数吗？”这样的一类问题，要分类讨论才能将问题表述清楚事实上许多学生这时对此问题的认识与理解是非常粗浅的，在后来的学习中，还会反复多次比如在反比例函数的学习中，又有不少学生会误以为函数 的图象一定在第二、四象限这正说明学生对用字母表示数的认识与理解是比较困难的，这种认识将是一个长期的过程2从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表达出来，进而用数学知识去解决实际问题首先，来自于学生对所提供的情境是否了解；其次，对情境所叙述的数量关系是否明白、能否用符号表示出来例如，城市学生用符号表示出租车车费用的问题往往比表示峰谷电价要容易一些，这是因为这两个情境前者为学生熟悉；同样，关于税收问题、手机各类套餐的收费问题等本身就不被学生熟悉，如若再加上一些复杂的数量关系，让学生用才开始理解的字母来表示它们，对学生来说确实具有极大的挑战3理解符号表示的意义，并能用关系式、表格、图象表示变量之间的关系，要经过一些训练，并赋予熟悉的情境才行例如：初二年级在反比例函数的学习中会遇到这样一道题某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场上营销时，发现此商场的日销售单价x（元）与日销售量y（件）之间有如下关系： x（元）3456 y（件）20151210（1）在坐标系中描出这些点并连线；（2）猜测并确定y与x之间的函数关系；（3）设经营此贺卡的销售利润为w（元），试求w与x之间的关系小学仅要求：某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场上营销时，发现此商场的日销售单价为3元时，日销售量为20件求此时的销售利润（十分具体（32）20即可）初中阶段要求：（1）将表格给出的信息转化为图象；（2）根据图象与表格给出的信息，将日销售单价x（元）与日销售量y（件）之间的关系用数学式子表达出来；（3）用字母w、x表示销售利润与日销售单价的关系（比较抽象，要求比小学阶段高了许多，对许多学生来说都要有一个认识、理解，操作、实践的过程）正因为符号感的建立与发展对于学生来说是要有一个过程的，所以，我们在具体教学的实践中既要认识到帮助学生建立符号感的重要性、又要认识到学生对符号认识、理解的长期性，还要认识到不同学生对符号认识、理解的差异性，在教学中要掌握好“尺度”这些困难，特别是学生学习的困难，有些不是在那个年龄段能解决的，为此，课标对这些提出了阶段性的要求。事实上，这些问题也都是国际上的“通病”。符号发展的历史与学生认识符号的阶段性符号的发展经历了漫长历史实体数字符号（量）；代数符号（已知未知、定量变量）；现代数学符号。数字符号的产生，经历了2、3万年；而从1到a又经历了几千年，现代符号的使用仅仅400多年。其中，代数量、算术量的重要区别在于对“字母”（抽象符号）的认识和使用；关于学生认识符号的阶段性，伦敦大学做个一项著名的研究。主要结果是学生对代数符号的认识是有不同水平的，具体包括： 1 给字母赋值：一开始就用数值代替字母而得出答案 问题1问题2问题3问题4 若a+5=8,则a=?若u=v+3且v=1，则u=？若m=3n+1,且n=4,则m=?若r=s+t且 r+s+t=30则r=? a=3 92%u=4 61%m=13 62%r=15 35%2 忽略字母的意义：置字母而不顾，或最多承认其存在但不赋予任何意义 问题1问题2问题3 若a+b=43,则a+b+2=?若n-246=762,则 n-247=?若e+f=8,则e+f+g=? 45 97%761 74%8+g 41%3 把字母当成物体：把字母看作物体的记号，或直接看成物体 问题1问题2问题3问题4 2a+5a=2a+5b+a=3a-b+a=（a-b）+b= 7a 86%3a+5b 60%4a-b 47%a 23% 4把字母看成特定未知量：把字母看成一定的、未知的数，而且可直接参与运算 问题1问题2问题3 n+5与4相加3n与4相加n+5与4相乘 n+9 68%3n+4 36%4n+20或4（n+5） 17% 5把字母看成广义的数：认为字母能代表几个数值，而不只是一个数值 问题1 %问题2 % 若c+d=10 且cd 对c的值作出判断L+M+N=L+P+N，恒成立，有时成立，不成立（条件） c2时)） 6% 2n 71% n+2 16%前5个水平在初中阶段的数学内容中较多地牵涉到。话题四：与符号表示有关的教学策略 从前面的分析中，我们可以看到，学生建立符号感是一个渐进的过程，不能一步到位，必须考虑学生的每一个年龄段的心理特点和认知规律。作为教师，这里我们主要谈初中教师，在帮助学生建立符号意识，在平时的教学过程中应注意些什么？应遵循怎样的规律呢？ 符号感教学的误区教师在符号感的教学中，往往存在以下误区1例如：在字母表示数的教学中，有些教师对字母表示数的必要性一带而过，将教学重点放在对某些较为复杂问题规律的探究上或要求学生一下子就用多个字母表示一些复杂的数量关系都是不合适的越俎代庖不遵循学生的认知规律，以自己的认识代替学生的认识、以为自己理解的学生也一定会理解教学中不注意创设情境、不引导学生去体会与感受，忽略大量的过程教学，而将教学的重点过多地放在结论上2例如：用“青蛙”儿歌作为用字母表示数的引入时，虽然有趣，但对程度较好的学生来说就显得过于浅显，教师就要在此基础上做一定的改进？千篇一律不分析具体的施教对象，或选择的情境不甚合适、或问题的适度选择不当3要求过高对于每一阶段的教学，几乎都是加深、拓展，企图一步到位事实是事与愿违，该掌握的没学好，一时没学好的内容全忘掉！4墨守成规不重视新课标、新教材的特点、变化与要求，一味地用一些陈旧、艰深，抽象的问题让学生去体会符号感，其结果只能是“两败俱伤”一方面学生在这些问题面前很难体会符号感，另一方面因这些问题牵扯学生过多的精力，反而把一些生动、丰富的情境忽略了例如：函数的教学，过多的去解一些纯数学的问题，忽略了用多种手段获取信息、多种符号之间的转换，在这个信息拥动的社会里，实质上也就忽略了一种能力的培养一般而言，学生的求知欲望是通过设置良好的问题情境激发起来的，而且是他们主动学习的起点；根据初中学生的心理特点设置问题，学生能做的让学生做，教师不要代替。但是我们知道，教必须考虑自己面对的学生状况等问题，常说教无定法，那么，在教学过程中究竟应遵循哪些大的教学原则呢？现行的新教材都是教学内容混编，知识结构呈螺旋式上升的我们对学生“符号感”的教学要求不必要、也不可能借助某一课时、某一章节就达到它要求我们贯穿于数学教学的过程之中，长此以往、循序渐进，但又逐渐达到其必须的目标为此我们在教学中也要有相应的策略1重视情境教学帮助学生去认识与理解符号感要尽可能在实际问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号感例如丁菁课例（丰富的情境）、2体验情境中对符号的需求引导学生去感知与顿悟应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律给学生提供机会经历“从具体事物学生个性化的符号表示学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程利用课题学习、“数学活动”等实践性课程，让学生参与解决问题的实践活动，亲身体会符号的优越性例如：在完成课题学习做一个容积最大的无盖正方体盒子的过程中，学生用多种方法数学式子计算、表格记录数据，代数式表示数量关系；在进行数学活动正方体涂色的过程中，学生自觉地用含n的代数式来表示所要研究的问题在活动中学生自然而然的运用符号，体会到使用符号的方便与简捷在学习一元一次方程阶段组织学生进行“一元一次方程应用的调查”，引导学生到生活中去寻找相应的实例促使学生利用自己创设的情境、用符号去解决实际问题这些实践活动对引导学生去感知与顿悟符号感，都起到很好的效果3遵循认知规律、渗透数学思想方法循序渐进地让学生建立并发展符号感 符号感是数学教学的一部分，对于教学必须遵循科学规律要符合从简单到复杂、从特殊到一般的认知规律，同时要逐渐渗透归纳、类比、转化、数形结合等数学思想方法例如，对于用字母表示数的教学，最初从具体的情境入手时，一定要遵循从简单到复杂的规律