高二数学二面角 人教

二面角(一),张春霞,复习回顾,1.在平面几何中角是怎样定义的？,2.在立体几何中,异面直线所成的角是怎样定义的？,3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,二面角的概念,新课,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,这条直线叫做二面角的棱。,这两个半平面叫做二面角的面。,平面角由射线-点-射线构成。,二面角由半平面-线-半平面构成。,定义,二面角的表示,二面角l,二面角CABD,二面角的画法,一个平面垂直于二面角的棱,且与两个半平面的交线分别为OA,OB,O为垂足,则AOB叫做二面角的平面角。,平面角是直角的二面角叫做直二面角.,二面角的度量,二面角的平面角的三个特征:,1.点在棱上,2.线在面内,3.与棱垂直,二面角的大小的范围:,二面角的平面角的作法：,、点P在棱上,定义法,、点P在一个半平面上,三垂线定理法,、点P在二面角内,垂面法,A,O,D,例1已知锐二面角l，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4，求二面角l的大小。,解：,过A作AO于O，过O作ODl于D，连AD,则由三垂线定理得ADl,AO=2，AD=4,AO为A到的距离，AD为A到l的距离,ADO就是二面角l的平面角,sinADO=,二面角l的大小为60,在RtADO中，,AOAD,l,二面角的计算：,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明1中的角就是所求的角,3、计算出此角的大小,一“作”二“证”三“计算”,取AB的中点为E，连PE，OE,O为AC中点，ABC=90,OEBC且OEBC,在RtPOE中，OE，PO,所求的二面角P-AB-C的正切值为,例2如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C的平面角,在RtPBE中，BE，PB=1，PE,OEAB，因此PEAB,解：,变式：如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=2，（1）求二面角A-PB-C的正切值。,E,（2）求二面角P-AC-B的大小。,（3）求二面角P-BC-A的大小。,练习如图，已知A、B是120的二面角l棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且ACl，BDl，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。,OAC120,AO=BD=1,AC=2,四边形ABDO为矩形,DO=AB=3,解,例3:如图,ABCD是直角梯形,ABC=900.SA面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2.(1)求面SCD与面SAB所成的锐二面角.(2)求SC与平面ABCD所成的角.,解:(1)如图建立空间直角坐标系,以A为原点,沿分别为x轴,y轴,z轴的正方向.则S(0,0,1).D(1/2,0,0),C(1,1,0).,P,Q,所以,面SCD与面SAB所成的二面角的大小为,SC与平面ABCD的夹角为:,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.ABPB.ACPC.都不是,练习,60,二、二面角的平面角,一、二面角的定义,从空间一直线出发的两个半,平面所组成的图形叫做二面角,1、定义,2、求二