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文档简介
2020/5/4,1,第二节定积分存在的条件,一、定积分存在的充分必要条件二、可积函数类,2020/5/4,2,一、定积分存在的充分必要条件,要判断一个函数是否可积?但由于积分和的不确定性和那个极限常数不易预知，因此这是极其困难的下面即将给出的可积准则,将不确定性过渡到相对确定性,且只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值,2020/5/4,3,2020/5/4,4,2020/5/4,5,和式:,2020/5/4,6,所以，可积性理论总是从上和与下和入手,2020/5/4,7,定理在原有的分割T中加入新的分点，则上和不增，下和不减即，在原有分割T中加入新的分点后得新分割T，它对应的上和与下和分别记为,2.达布和的性质,2020/5/4,8,2020/5/4,9,其中,2020/5/4,10,2020/5/4,11,定理对任意分割T，都有,证,这里M,m分别表示f(x)在a,b的上确界和下确界,即，上和必有下界,下和必有上界,2020/5/4,12,定理对于任意两个分割T与T，有,任一分割T的下和都不超过另一分割T的上和,任一分割T的上和都不小于另一分割T的下和,2020/5/4,13,第一式得证，同理可证第二式.,又因为,所以,2020/5/4,14,2020/5/4,15,为了证明达布定理,先介绍下面性质(证式中提炼出,为方便),2020/5/4,16,2020/5/4,17,类似可证第二式.,2020/5/4,18,显然得证.,2020/5/4,19,证（只证第一式),要证:,2020/5/4,20,对任意分割T,由性质的推论有,2020/5/4,21,2020/5/4,22,2020/5/4,23,3.定积分存在的充分必要条件,2020/5/4,24,2020/5/4,25,2020/5/4,26,Riemann可积的第一充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,2020/5/4,27,定理也可叙述成如下形式,2020/5/4,28,2020/5/4,29,充分性,2020/5/4,30,2020/5/4,31,Riemann可积的第二充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,2020/5/4,32,注意到,证明:,2020/5/4,33,于是易知f(x)在a,b上Riemann可积,2020/5/4,34,二、可积函数类,注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。,2020/5/4,35,证根据在闭区间上连续函数性质，,2020/5/4,36,从而导致,注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用,2020/5/4,37,2020/5/4,38,2020/5/4,39,2020/5/4,40,2020/5/4,41,注:单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性,于是有,2020/5/4,42,例2试用两种方法证明函数,2020/5/4,43,2020/
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