第二节：正项级数的审敛法

第二节正项级数及审敛法,如果级数,满足条件：,称为正项级数,定理1:正项级数,收敛的充分必要条,件是：它的部分和数列,有界。,定理2（比较审敛法）如果两个正项级数,（1）若,（2）若,证：设,较大一般项对应的级数收敛，则较小一般项对应的级数也一定收敛。,较小一般项对应的级数发散，则较大一般项对应的级数也一定发散。,和,满足关系式,收敛，,则,也收敛，,发散，,则,也发散。,（1）若,则由定理1知,因此,所以级数,（2）若,则由定理1知,因此,所以级数,推论：如果正项级数,则定理2中的结论仍然成立。,定理1:正项级数收收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。,收敛，,也有界，,收敛；,发散，,也无界，,发散；,和,从某项N,之后满足关系式:,例1：判定调和级数,的敛散性。,解：,取,因此有,发散，,取,例2：讨论p级数,的敛散性,解：（1）,（2）当p1时，,例2：讨论p级数,的敛散性,解：,（2）当p1时，,即,例2：讨论p级数,的敛散性,解：,（2）当p1时，,即,有界，,所以部分和数列,因此级数收敛。,结论：p级数当p1时收敛；当p1时发散。,例3：证明级数,证明：,发散，,是发散的。,而级数,所以由比较审敛法,例4：判别级数,解：,的收敛性。,所以,所以原级数为正项级数。,取,而,是收敛的几何级数，,所以，,是收敛的。,（1）若,（2）若,且,收敛，,和,则,有相同的收敛性。,则,也收敛;,（3）若,且,发散，,则,也发散;,定理3（比较审敛法的极限形式）设,和,都是正项级数，,0,收敛,和,有相同的收敛性。,收敛;,发散,也发散;,注意：若,发散，,不一定发散。,定理3（比较审敛法的极限形式）设,和,都是正项级数，,解：,发散，,和,有相同的收敛性，,发散,解：,收敛,且,由比较审敛法的极限形式知，,收敛。,（1）取,则,发散，,因此若,（或为+），则,发散,（2）取,则,收敛，,因此若,收敛。,则,定理6（极限审敛法）设,是正项级数，,（1）如果,（或为+),发散；,则,（2）如果,收敛。,则级数,例如级数,当n时，,故所给级数收敛,说明：（1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式），需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较对象。,（2）常用的比较对象有：等比级数、P-级数和调和级数。,（3）比较对象的选取有时比较困难。,定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）如果正项级数,的后项与前项之比的极限为：,，则,（1）当1（或为）时，级数发散；,（3）当=1时，不能用此法判定级数的敛散性。,比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级数自身的一般项，因此使用直观方便。,因为,所以由极限的定义可知,证明：（1）当1,存在自然数m,是收敛的几何级数（0r0，故所讨论的级数为正项级数。,当01时，发散；,即0x1时，级数收敛；,比较判别法与比值判别法常结合使用。,例3：判定级数,解：因为,所以,故,的收敛性。,收敛，,收敛。,例4：判定级数,解：,比值判别法失效，需改用其它方法来判别。,的收敛性。,例4：判定级数,的收敛性。,解：,而级数,所以由比较判别法知,也是收敛的。,是p=2的p级数，故收敛,注意：当某个判别法失效时，不要盲目下结论，此时要改用其它方法进一步判别。,定理5（根值审敛法，柯西判别法）设,为正项级数，如果,则,（1）当1（或为）时，级数发散；,（3）当=1时，不能用此法判定级数的收敛性。,同比值审敛法一样，根值审敛法也有使用直观方便的优点。,比值审敛法与根值审敛法均要求所用到的极限存在，且不等于1。,例5：判定下列级数的收敛性。,解：因为,所以由根值判别法知，级数,收敛,由两边夹法则,例5：判定下列级数的收敛性。,解：因为,所以根值判别法失效,所以所给级数发散。,比值判别法与根值判别法的比较：,（1）适用对象,若一般项,中含有因子,则一般考虑用比值法，,若一般项,中含有因子,则一般考虑用根值法，,（2）适用范围,若用根值法失效，即,则用比值法也,一定失效，即此时必有,反之不成立。,（3）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。,例6：判定级数,解：因为,且含有因子,（1）当0ae，时，,所给级数发散；,例6：判定级数,解：因为,且含有因子,的收敛性。,（3）