高三数学第二篇第九节变化率与导数、导数的计算课件理北师大

第九节变化率与导数、导数的计算,1.函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为2.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0),(2)几何意义,函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为3.函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.,yy0f(x0)(xx0),4.基本初等函数的导数公式,5.导数运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；6.复合函数的导数复合导数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),yuux,y对u,u对x,1.已知函数yf(x)x21，在x2，x0.1时，y的值为()A.0.40B0.41C.0.43D0.44【解析】yf(2x)f(2)(2x)21(221)224x(x)212214x(x)240.1(0.1)20.40.010.41.【答案】B,【解析】,【答案】B,3.设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2009(x)等于()A.sinxBsinxC.cosxDcosx【解析】f0(x)sinx，f1(x)f0(x)cosx，f2(x)f1(x)sinx，f3(x)f2(x)cosx，f4xf3(x)sinx，fn(x)以4为周期，f2009(x)f1(x)cosx【答案】C,【解析】,【答案】,【解析】y(sinx)cosx，,【答案】,利用导数的定义求函数的导数,求函数y在x1处的导数【思路点拨】方法一：利用定义求导数值；方法二：先求导函数，再求导函数值,【自主探究】方法一：(导数定义法),方法二：(导函数的函数值法),【方法点评】1.根据导数的定义求函数yf(x)在点x0处导数的方法：(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率(3)得导数f(x0)简记作：一差、二比、三极限2.函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数,【解析】y(xx)2a(xx)b(x2axb)x22xx(x)2axaxbx2axb2xx(x)2ax，y2xa.,1.利用导数的定义，求函数yx2axb(a、b为常数)的导数,导数的运算,【思路点拨】先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆,求下列函数的导数：,【自主探究】,(2)设u2x3，则y(2x3)5由yu5与u2x3复合而成，yf(u)u(x)(u5)(2x3)5u4210u410(2x3)4.,【方法点评】1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数yf(x)在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：(1)分析函数yf(x)的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便,3.复合函数的求导方法,求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；(2)分步计算中的第一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程,2.求下列函数的导数：(1)y(3x34x)(2x1)；(2)y3xex2xe；(4)ysin2x.【解析】(1)y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，y24x39x216x4.或y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4.,(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2.(4)y(sin2x)(cos2x)(2x)2cos2x.,导数的几何意义,已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积【思路点拨】(1)用导数的定义或求导公式求直线的斜率(2)第(2)问可先求出l1与l2的交点，再求三角形的面积,【自主探究】(1)y2x1.直线l1的方程为y3x3.设直线l2过曲线yx2x2上的点B(b，b2b2)，则l2的方程为y(2b1)xb22.,【方法点评】本题由导数的几何意义及直线垂直的位置关系可求直线l2的斜率，然后根据待定系数法求出l2与曲线yx2x2的切点坐标，即可求出切线方程，从而也就较容易地求出l1，l2，x轴所围成的三角形的面积,3.偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图象过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求yf(x)的解析式【解析】f(x)的图象过点P(0,1)，e1又f(x)为偶函数，f(x)f(x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0f(x)ax4cx21.,函数f(x)在x1处的切线方程为yx2，可得切点为(1，1)ac11f(1)(4ax32cx)|x14a2c，4a2c1,1.(2009年天津高考)设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2.下面的不等式在R上恒成立的是()A.f(x)0Bf(x)0C.f(x)xDf(x)x,【解析】方法一：用排除法，设x0，则f(0)0，排除B、D；设f(x)x2，符合题目条件，但C不恒成立，故选A.,方法二：由题意得,当x0时，2f(0)0，即f(0)0；当x0时，2xf(x)x2f(x)x30，即当x0时，2xf(x)x2f(x)x30综上所述：f(x)0.【答案】A,【解析】,【答案】D,3.(2009年江西高考)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和y,【解析】令过(1,0)的直线与yx3切于点(x0，y0)，切线斜率为k3x02.设切线方程为y3x02(x1)，,【答案】A,【解析】,【答案】1,5(2008年北京)如右图函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)_；(用数字作答)【答案】22,【解析】由图可知：ff(0)f(4)2，,1.弄清“函数在一点x0处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数，不是变量(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f(x)(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值,2.有关导数几何意义的题目一