高三数学用向量法求空间角 课件 人教

课题：用向量法求空间角,空间角的概念,1、异面直线所成角的定义直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,异面直线所成角的范围是。,2直线和平面所成角的定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0角。,由定义知，直线与平面所成的角0，,二面角的范围是0，,例1：如右图，直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值,解：,则B,（1，0，0）；,A（0，1，0）；,.典型例题,所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值,注：,（其中分别是直线上的向量）,例2：已知：如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是CC1的中点。求：ED与平面A1B1C所成角的大小,由题意知：,=（3，0，0）；,A（0，0，0）；B（3，0，0）；C（3，3，0）；D（0，3，0）；B1（3，0，4）；A1（0，0，4）；E（3，3，2）。,设平面A1B1C的法向量为=（x，y，z）则,令z=3，则=（0，4，3），,又因为=（3，0，2）；,sin=|cos|=,即ED与平面A1B1C所成角的大小为arcsin,=arcsin,设DE与面A1B1C所成角为，则,例3：在例2中，求:二面角B1A1CC1的大小。,由题意知：,由例2知面A1B1C的法向量为=（0，4，3）,下面我们来求面A1C1C的法向量,设=（x，y，z），,由于=（3，3，0）,=（0，0，4）,令y=1，则x=1，,=（1，1，0）,又所求二面角为的补角，,故二面角B1A1CC1的大小为arccos,如例3中，易见是面A1C1C的法向量；,cos=,如图1中，cos=,图2中,cos=,评注：用向量法求二面角的大小：,四.练习：,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：OS与面SAB所成角二面角BASO的大小异面直线SA和OB所成的角,则A（2，0，0）；,于是我们有,=（2，0，-1）；,=（-1，1，0）；,=（1，1，0）；,=（0，0，1）；,B（1，1，0）；,令x=1，则y=1，z=2；,从而,设面SAB的法向量,显然有,所以直线SA与OB所成角大小为,.由知面SAB的法向量=（1，1，2）,又OC面AOS，,是面AOS的法向量，,令,则有,由于所求二面角的大小等于,二面角BASO的大小为,五.课堂小结,求异面直线所成角的公式：,其中是异面直线上的方向向量。,求线面角大小的公式：,其中是平面的法向量。,求二面角大小的公式：,或,其中分别是二面角的两个半平面的法向量。,用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、二面角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中