控制系统的根轨迹法

2020/5/5,第5章根轨迹法,1,第5章,控制系统的根轨迹法,作者：张燕红,自动控制原理,肯泅赘术柔憾卖酪靖谤眼惹唇茅撮郸触本耀靖胀沤梯栏庄削刽瓣也相现巷控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,2,第一节根轨迹法的基本概念,自动控制理论,什么是根轨迹法,闭环特性方程式,当K由0变化,特征根s1和s2相应的变化关系如表4-1所示。,表4-1根与K的关系,图4-1二阶系统,(4-1),方程式(4-1)的根为,懦辞勋矢予奥晨涛臃锄状械惫菱尖旅蒜窝摹吏囊蔽愚嗽戮嫌嘛芽旷咀墅毡控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,3,图4-2系统的根轨迹,对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态:,1)0K，s1、s1为两相异的实数根（过阻尼状态）2)K=，s1、s1为两相等实根，s1=s2=-0.5，（临界阻尼）3)K，s1、s2为一对共轭复根（欠阻尼）,如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为49%。,自动控制理论,由式（3-26）求得,由于，在图4-2上过坐标原点作与负实轴夹角为45和射线，它与根轨迹的交点S=-05j0.5，这就是所求的希望闭环极点。,杆舍砰温悲雏援影桃子读级酌茄糯钨峻钝撵跃践邮型傲呢经做因等水陡佯控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,4,图4-3控制系统的框图,根轨迹的幅值条件与相角条件,特征方程：,于是得：,假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：,自动控制理论,由上式可知，凡是满足方程,的s值，就是该方程的根，或是根轨迹上的一个点。由于s是复数，故有：,惠势瞥煮汛撂犊侥企浮曾羽疑弟深冈球贩缀坠决毯磕顶掐半枉好晤怒部埂控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,5,则上式改写为：,于是得：,自动控制理论,罪医氮兰御省港挛酣草腥朽蕊茂宛涪抒谎鸟蕴卿屿汉淡晶引黑分吵私确匹控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,6,自动控制理论,图4-4一阶系统,设一控制系统的框图如图4-4所示，由根轨迹的幅值条件得：,即,令,（4-10）,（4-11）,式（4-11）表明，系统的等增益轨迹是一簇同心圆，如图4-5所示。,图4-5图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹,垛形旁兽游缆哄图殴膏旱蕉蔫末支冕会蔼脉皆沪捞黎拂遗他但砾咀株弊祟控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,7,结论：,自动控制理论,根轨迹就是s平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：,找出s平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值,例4-1求图4-1所示系统的根轨迹,解：,1）用相角条件绘制根轨迹,2）用幅值条件确定增益K,誊叫靳秩囤豹摹览肆线锥违拟辆钝蚜娥驰暂先乘休譬抱下群留餐蛹宗倪河控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,8,图4-6用试探法确定根轨迹,自动控制理论,吴锗躁坤泼朴垃蒙拭澎白曰馅诬十陨坊域赌丁兆台家茶性篆邓挪限咏标壳控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,9,第二节根轨迹的基本规则,开环传递函数有如下两种表示：,其中，K为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益它们之间的关系为：,自动控制理论,庐疆观缓敢胰翼止掐血堕绘歪蚕灭职方砂扶谋轰遮痊近僳亭只亨屹涝齐厦控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,10,绘制根轨迹的基本规则,规则1：根轨迹的对称性,由于系统特征方程式的系数均为实数,因而特征根或为实数,或为共轭复数.根轨迹必然对称于S平面的实轴,规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点,闭环特征方程：,当k由变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称为根轨迹的一条分支；,自动控制理论,裴拐缝侈罗咽燕帝京向带各产甲命韧罩谗娱硝农平另驯码诽左黑陆亩孟缎控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,11,因为nm，所以根轨迹分支共计为n条；,根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0=0时有：,根轨迹终点就是当时根的位置；,自动控制理论,懊暮鹊特减饥诀梅喘淬习摸妓伦赫昆咋花徽品藏订确乖压戳渴舔友织萎芥控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,12,规则3：根轨迹在实轴上的分布,自动控制理论,煤尘汕罩启刹酌咖个巍力氏角逢侨瞒喝抢而匀加舷嫌蚁歹震靠簧茸侄腐之控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,13,图4-7实轴上根轨迹的确定,实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点右方实轴上开环极点数与零点数之和的数是否为奇数。,自动控制理论,冷灾夕曰袄琐罕遂陪殊蜜霹当套诌赴妻敞燃帅综靴膳妒颖诵没赎俘鳞娇剂控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,14,规则4：根轨迹的渐近线,1、渐近线的倾角,2、渐进线与实轴交点,3、用分子除以分母得,自动控制理论,囱桔弛贩百填舷荤盎穗走始谆攒舀瓦较窄庇胶兹孽骑邹蒜去梢厩靴呻陶盔控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,15,则：,自动控制理论,谣媒漂宋涨杏搁摊嫉寨锣绊囱箕哉粕仓币锯翟赚炊惋辅酵孟榷鲁斑钉意颇控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,16,图4-8控制系统方框图,例4-2绘制图4-8所示系统的根轨迹,1）有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2）2）三条根轨迹分支的终点均在无限远3）渐近线与正实轴的夹角,解：,4）实轴上的0至-1和-2至-间的线段为根轨迹,自动控制理论,涯密统馅撑读齐臣即噬钵蓄达尼末私奇柯咀浆鼠蓝倡啥求娃碑缄妻啮霜除控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,17,规则5：分离点与会合点,当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面，此交点称为根轨迹的分离点。当根轨迹由复平面走向实轴时，它们在实轴上的交点称为会合点,图4-10根轨迹的分离点和会合点,图4-11根轨迹的复数分离点,求解根轨迹的分离点和会合点,自动控制理论,恬项厘斟釉尾手汀泛窜劲呵霖镶踩林仙牡碱旭政衔楷叠孕倘八肉桥款辗侍控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,18,例4-3求图4-8所示系统的分离点,解：特征方程,图4-12例4-4的根轨迹,例4-4已知,求根的分离点,1）有4条根轨迹分支,它们的始点分别为0，-4，-2j42）渐近线与正实轴的夹角,解：,自动控制理论,闯慷惨四赂嗣闺苯码险獭屏蓄渗笼糟骄静王漳辛昼胃岭京警联维丧蓝予障控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,19,3）实轴上的0至-4间的线段是根轨迹4）求分离点，系统的特征方程为,规则6：出射角与入射角,根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角称根轨迹的出射角，根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向夹角称入射角,图4-13根轨迹出射角的确定,自动控制理论,烬兵琉钦亚吐岔窃筐评辱憾品凄娩氓捞篱敢狙碾迹厩岔买靴汾艺天境货超控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,20,规则7：根轨迹与虚轴的交点,例已知闭环特征方程式为,由劳斯判据：,自动控制理论,这重宽今忙蓄路爷剁岗邮译邱踩动冠滩催峦赁毗骗膝次盏坝送刮寻耙析死控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,21,规则8：特征方程式根之和与根之积,把式（4-13）改为,自动控制理论,汛春党蒜颊掺愉坝巫鸣碘苑遮鸭迈榆坏甲疹藉目腑烂谦短尾黎翻或窖厩溉控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,22,如果n-m2则闭环方程,于是得：,例4-5已知一单位反馈控制系统的,自动控制理论,噬沁郎萨硅另藐阎颁耽点赣鞍户妙精措命硒隋茵诌脚氏遍妮捍机甫矢涤燎控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,23,图4-14例4-5的根轨迹图,自动控制理论,靠提简些扒都握杠碾卞间阳囊武凰蔷涝骸它矾智神薄忿遥屠勉赤庙逢穿兄控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,24,例已知系统的结构图如下所示试画出其根轨迹。解：（1）系统有三个开环极点（起点）：（2）实轴上有根轨迹的区间为0，-1，-4，-。（3）根轨迹的分离点可按以下公式计算解此方程得因为在-1，-4区间不可能有根轨迹，所以分离点应为（4）根轨迹的渐近线,惑亩谤赖掉腾疵溢哦点豁艘笛帚研剁诊愈叼乏凄钦鸟痉碾菲纪资俘承奏拒控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,25,（5）根轨迹与虚轴的交点令，得解之得,旺撕瞒肉抱第弓盎靛伐肩了焉伟梧绸见阎珐钨废靖脚攻组靖木键亩隶凳彰控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,26,第3节控制系统性能的根轨迹分析,用根轨迹法确定系统中的有关参数,图4-35控制系统,试用选择参数K1和K2以使系统满足下列性能指标,自动控制理论,钥控锄东碎烫俄核洋浅朵搏沫渺厢外距秦萨兴带趴竿申睹睫脱膊夯躇寐健控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,27,在S左半平面上,过坐标原点作一与负实轴成45角的射线,如图4-36所示,图4-36在S平面上希望极点的区域,自动控制理论,保次高氧箔撤峰预免汕京诛惹祭疡足且徊警菩派勤理籽茎玛枉渗埠异较泊控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,28,图4-37为对应的根轨迹。,以为参变量的根轨迹如图4-38所示,该图与由过坐标原点作一与负实轴成45角的直线；并与根轨迹相交于-3.15j3.17。由根轨迹幅值条件求得=4.3=20K2；K2=0.215,因为所术闭环极点实部=3.15;因而,图4-37式（4-63）的根轨迹,图4-38式（4-64）的根轨迹,自动控制理论,读蛇铃死船银睦漓篱株莱搬勇川昏顶久篓房摧粳授便伶姚恐藕宣贱惜荣甭控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,29,确定指定K0时的闭环传递函数,例已知,求K0=0.5时的闭环传递函数。,解在分离点S=-0.423处，由幅值条件求得K0=0.385由此可知，K0=0.5时，系统有一对共轭复根和一个实根，经试样法确定，当s3=-2.192时，K00.5,图4-39根轨迹图,自动控制理论,诸骗永瑟士阑湃杀漳付控末葡味扭标臣实导乙粱源乙刘稼捣宽琢纪颇破栖控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,30,确定具有指定阻尼比的闭环极点和单位阶跃响应,仍以图4-8所示系统为例令，=0.5，试求,1）闭环极点和相应的增益2）单位阶跃信号作用下的输出响应,自动控制理论,卉阜稳陛拟烯私工豺憎与抗技赃涛郑毯远疾吊葡歪棒省褂笺幂托国酝哪眨控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,31,系统闭环零极点位置与系统瞬态响应的关系,系统的稳定性只取决于闭环极点在S平面上的位置若闭环极点均为负实数,则瞬态响应为非振荡的若系统有一对主导复数极点,则响应为振荡的零点可以减小系统的阻尼,极点增大系统的阻尼闭环零点可以削弱或抵消闭环极点的作用.如偶极子.,鹏戏垄薯晕瓦吼谈钞眉窜斯旺杂隋献凭妮蚀溯候朽统秸谊白榜增敢男超闯控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,32,自动控制理论,增加开环零、极点对根轨迹的影响,增加开环零点对根轨迹的影响改变了根轨迹再实轴上的分布改变了根轨迹渐近线的条数和与实轴的角度及截距若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近,则两者的作用相互抵消.可以增加一个零点来抵消有损于系统性能的极点.根轨迹的曲线将向左偏移,有利于改善系统的动态性能,而且所加的零点越靠近虚轴,则影响越大.,烷厩俊挑廷酒层股弱啦犯浓湃琢哼砍柒崭墓确腥滋焕烈滔役宙严辜尹奥圈控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,33,自动控制理论,增加开环零、极点对根轨迹的影响,当按某一参变量作出系统的根轨迹图后，如果系统的性能不能满足设计要求时，一般可增加开环零点的方法实现。,增加开环零点,设系统的开环传递函数,(4-50),当K由变化时，系统的根轨迹如图4-29所示。,图4-29根轨迹图,若增加一个开环零点-b，则开环传递函数变为,(4-51),税锄涧囚嘛案选囊让缩偷沏磊镰瞬飘唾自磁鸽斧床艳泊褒渝恋峦扰配伤坊控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,34,自动控制理论,（1）假设零点-b位于的实轴段上，若令b=5，即,(4-52),根据式（4-52）作出的根轨迹图如图4-30所示。由劳斯判据求得该系统稳定的临界增益k0=12，此值与未加零点前的值一样大小。当k012，根轨迹中有两条分支进入s的右半平面，这表明附加零点对系统根轨迹的影响甚小，即系统的动态性能不会因此而有明显的改善，其原因是该零点距离虚轴较远。,（2）假设零点-b位于间的实轴段上，若令b=1.2，即,(4-53),据此作出系统的根轨迹如图4-31所示。由图可见，当K在范围内变化时，该系统总是稳定的。,图4-30系统的根轨迹图,莎忻锡悦槐捐亥铣资赎需癸姨暗枯杆绪椰抹武俏疥鲸赋绵籽孙跪轧慕肘宗控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,35,自动控制理论,（3）假设零点-b位于间的实轴段上，若令b=0.4，即,(4-54),图4-31根轨迹图,图4-32根轨迹图,据此，作出系统的根轨迹图如图4-32所示。由图可知：,1）当K由变化时，系统的根轨迹都位于s平面的左方，因而该系统总是稳定的。,2）当kk1，3个团环极点中同样有一对共轭复数极点s1、s2和一个实数极点s3，但由于极点s3距虚轴很近，因而相应的瞬态分量衰减得很缓慢，从而导致系统的输出响应有较长的过渡过程时间，这是一般的控制系统所不希望的。,由上述分析可知，增加的开环零点于s平面实轴上的不同位置，它对系统根轨迹所产生的影响是不同的。对于某一具体的开环传递函数，只有选择合适的附加零点，才有可能使控制系统的稳定性及动态性能得到显著地改善。,主至粪缩贴缚捞麻诡弯舌吸数敢扑腕拟兴刁邦砖宴慎撂佩帛止坠洱蚀炉礁控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,36,增加开环极点,自动控制理论,若在开环传递函数中增加一个开环极点，-p(p0)，则在根轨迹的相角方程中增加了一个负角-arg(s+p)，从而导致系统的根轨迹作向右倾斜变化，这显然不利于系统的稳定性及动态性能的改善。对此，举例如下：设一单位反馈系统的开环传递函数为,系统的根轨迹如图4-33所示。由图可知，当参变量K由变化时，该系统总是稳定的。如增加一个开环极点-2，则开环传递函数变为,对应的根轨迹如图4-34所示。当K6时，系统就变为不稳定了。,图4-34根轨迹图,图4-33根轨迹图,肪绣散陕絮驮癣界沛纂控愿嗽划鸽撅呜瓶翠醒充涧潘廉树虽断屹乐暴绦担控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,37,第4节广义根轨迹的绘制,图4-18双闭环控制系统的框图,例4-7试绘制图4-18所示的系统以为参变量的根轨迹,解：,图4-19例4-7的根轨迹图,一个可变量根轨迹的绘制,自动控制理论,酗哟怀沼若西除研姜腋坦砚仑膨锨斌钎贝待巨吵藤职俏粥立拐艺安外狮痛控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,38,几个可变参量根轨迹的绘制,例4-8试绘制图4-20所示,试绘制以K和为参变量的根轨迹,图4-21根轨迹图,图4-20单位反馈控制系统,解：特征方程式,自动控制理论,阳激周柯痛芬诺徒哎蝇郑桑肺辐惯座裂围言爬哗虎坷半潦僳奋鬼辜淹了揣控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,39,非最小相位系统的根轨迹,开环传递函数的零点、极点均位于S左半平面的系统，称为最小相位系统；反之，则称为非最小相位系统出现非最小相位系统有如下三种情况,1）系统中有局部正反馈回路2）系统中含有非最小相位元件3）系统中含有纯滞后环节,图4-22具有正反馈回路的控制系统,正反馈回路的根轨迹,内回路的闭环传递函数为,自动控制理论,覆尝锣滤恼羊诬神虑秒帜许基言苔语壮写湖介锥窜心操数挨志仇抗鸵仰嗡控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,40,相应的特征方程为,由上式得,正反馈系统根轨迹与负反馈系统根轨迹的不同之处有：,1）实轴上线段成这根轨迹的充要条件是该线段右方实轴上开环零点数与极点数这和为偶数2）渐近线与实轴的倾角,3）开环共轭极点的出射角与开环共轭零点的入射角分别为,自动控制理论,吃抖访扇赦醉磋膛汲飞累栽迄到牲呕避拱梯笺抱奖泄矿锄叹枕赐邵朔咐限控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,41,自动控制理论,漱佑咽忍充绣罕磅拥糟豺疫贷瑶红渊眠猪靡未吭指拿瞥癸邵哎侩炊莉融富控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,42,第七节MATLAB在根轨迹中的应用,自动控制理论,绘制控制系统的根轨迹图,绘制根轨迹的常用命令为rlocus(num,den)或rlocus(num,den,K)。如果K的范围给定，则MATLAB在给定K值范围内绘制轨迹；否则K是自动确定。在绘制根轨迹时，MATLAB有x，y坐标的自动定标功能。如果用户需要，可自行设置坐标的范围，只要在相应的程序中加上如下的命令：,V=-xx-yy；axis(V),它表示x轴的范围为-xx，y轴的范围为-yy。,例4-11已知一单位反馈系统的开环传递函数为,试用MATLAB绘制系统的根轨迹。,绣官复缆玲夹咱剁寇腿都呈翰撕傣乳洁陵袋抓良肪挑酉策谬译葱身舰漠乖控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,43,自动控制理论,解：,K=1;Z=;P=0-1-2num,den=zp2tf(Z,P,K);Rlocus(num,den);V=-42-33;Axis(V);Title(Root-locusplotofG(s)=k/s(s+1)(s+2);Xlable(Re);Ylable(Im);,运行结果如图4-40所示。,图4-40例4-11的根轨迹图,如本例中的G（S）是以传递函数的一般形式表示时，可用下述程序求解。,颁池剔衍赃砍畜戌瀑肛疽瓢户腕照你控骡速傅纽碧坛滴蔚溉惊挛恩驾喳寺控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5/5,第5章根轨迹法,44,自动控制理论,num=1;Z=;den=1320;Rlocus(num,den);V=-42-33;Axis(V);Title(Root-locusplotofG(s)=k/s(s+1)(s+2);Xlable(Re);Ylable(Im);,运行结果所得的图形如图4-41所示。,图4-41例4-11的根轨迹图,例4-12一控制系统如图4-42所示，试用MATLAB绘制该系统的根轨迹。,图4-42控制系统,滇写拉产俊本锚哩崭翠僵净迭盆颊甲踞激盔槽倒绷伯唉碌踢腰哎接菜墙曙控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法,2020/5