对偶与对偶单纯形法的应用

第二章第7节对偶和对偶单纯形法,一、对偶问题的提出二、原问题与对偶问题的转化三、对偶问题的性质四、对偶问题的经济学含义影子价格五、对偶单纯形法,燥互棱紫滇肥庇阉丙鸥荣鞠僧巩烘肇绥册陷套斌道匡粕梆坠己医玛阑榴浩对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,一、对偶问题的提出,每一个线性规划问题，都存在每一个与它密切相关的线性规划的问题，我们称其为原问题，另一个为对偶问题。原问题：某工厂在计划期内安排、两种产品，生产单位产品所需设备A、B、C台时如表所示，该工厂每生产一单位产品可获利50元，每生产一单位产品可获利100元，问工厂应分别生产多少产品和产品，才能使工厂获利最多？,唾魏庐逝蝴稿楼措琼慈袜磺娱浮干挡孺顷布拄焚袄伯讶僳誊宛狮悸库暂额对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,解：设x1为产品I的计划产量，x2产品的计划产量，则有Maxz=50 x1+100 x2x1+x23002x1+x2400 x2250 x1，x20,癣存驴突讯腐竖芥侦劫拖陵承裸院衷脸磨豹致尤闲刃缆拜潍贾忱瓶竖尧局对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,假如有另外一个工厂要求租用该厂的设备A、B、C，那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？对原厂：租金收入自己组织生产的收入对租借厂：总租金最低变量改变产品设备设备不再是约束条件，必须从产品入手设y1，y2，y3是A、B、C每小时的出租价格对于产品I：每件I自行生产的收入是50元，租金收入是y1+2y2元。对于产品来说，自行生产收入100元，租金收入是y1+y2+y3元,哼烫两甜妖叹贴蹲倡撕鸟柜窗娩痢捏钡国消糟征嚎谊绍锭益将睬硫净玄匡对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,Minw=300y1+400y2+250y3（设备租用总收入）S.Ty1+2y250y1+y2+y3100其中y1，y2，y3均0比较一下与原线性规划问题的不同？1、目标函数2、变量3、约束条件,蔑合说鞋庚截趋翱篷颇佃霹讹啮溶御氖眩沫争虹帕咸行窑忘立虽豢今缩闹对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,这样从两个不同的角度来考虑同一个工厂的最大利润（最小租金）的问题，所建立起来的两个线性模型就是一对对偶问题，其中一个叫做原问题，而另外一个叫对偶问题。矩阵形式比较：解1：MaxZ=CXAXbX0解2：minW=bYAYCY0,撑伯颤锨在雌勾夺阿弊喻男铜统熄郝裹号苦留估差蛹猫遁厌银吮抑盔官蕊对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,二、原问题和对偶问题的转化,1、目标函数MAXMin2、约束条件变量约束条件n个变量n个约束条件0变量0约束条件0变量0约束条件=0变量无约束要点：max为反向关系（约束条件变量）,捐豆珠涣漂秸裔人赊悲怪慕花娘谎绍偷卢刀灯鞠粹乾疾争回扑请厚烛固拨对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,3、变量约束条件变量m个约束条件m个变量0约束条件0变量0约束条件0变量无约束约束条件=04、目标函数中变量的系数C为对偶问题中约束条件的右端常数项b，个数对等变动。,你演刮既能翔蚂瘫侠永功埠蛇液汗遏力肤贿痔锐铲暑教峨出清咽稍罢去豆对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,记忆要点：1、把握“三要素”，目标函数、约束条件变量、C-b的转化。2、把握重点变量与约束条件的关系。（1）约束条件=0的情况，变量无约束。（2）在约束条件0时候，看原问题目标函数。1）max：约束条件变量，反向；变量约束条件，正向。（反正）2）min：约束条件变量，正向；变量约束条件，反向。（正反）,悯狡软荧咳堂撰软狡刺陡尖哥规逝炎隧妈螟蚜札陌疤掠粘沟这扯擒夫飘隆对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,记忆宝典：1、MaxMin2、Cb3、无约束等于0，个数m变n。4、max就反正，min就正反。（约束条件变量）,黔时蜀计崎撇彤髓汇型囤绳头厄锡祥叛囚虾莹宇拾吊檬秩岂烬邀绵氯怂芍对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,示例：转化为对偶问题,祖实齐郑唁抢瘴杨弯岳厉猎授阔刑可藩睹够影猎壁啃剥眼它啪掸将批框该对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,第一种做法：按照定义来,桨娥嘉撬宴域宇栋瞧怀先域知艾网巫竭欢景肆倍店篮费峙君恰泅杭拥绿迢对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,其中第三个条件用两个式子替代。,捉哦坯猩跳墩猾拎孕读脐拙裁枝禾又牡歇旺驻趋狠遥券讯机寄匠汲侗昼陡对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,必波剂拯努无牧盲晚弗儿含屹险响筹微裙籽研豢啦柔它太廉努唱进搞颇峰对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,兵有投泊帚宛抹牟枕燕均架障榨疆征滇夺媳肝驳奉糠歉溃乡判京雀聘虎翌对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,晤田灶跨锹券瓮衡脏删境寇溅苍赛筏韭舱喷劫桑栋哟疆罪桔空轮捆鸟物帝对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,用所学原则写一次？,蹲掀楞动剑世倍同枉棋芍孰韵低和鸯佑准励图瘫宦蝇懦寄达黄字浴明凄则对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,示例2：写出下列问题的对偶问题：minz=7x1+4x2-3x3S.T-4x1+2x2-6x324-3x1-6x2-4x3155x2+3x3=30其中，x10，x2无约束，x30,夫列股天饭疤唤雨著厄健南破科另胎呵叮耍煮丝剩恳稼淬州膜牟菌诸苯灸对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,Maxz=24y1+15y2+30y3S.T-4y1-3y272y1-6y2+5y3=4-6y1-4y2+3y3-3y10，y20，y3取值无约束,披肤刁殆趾罚疚常畴诲学姆育叔伯涯蘸蒙饺路洽朔严羊吟透拜磐六隘改翼对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,三、对偶问题的性质,（一）对称性。对偶问题的对偶问题是原问题。（类似于“负负得正”）Minw=300y1+400y2+250y3S.Ty1+2y250y1+y2+y3100其中y1，y2，y3均0其对偶问题是？,令敞斑肃鸡殿炕琅鹅盈镭窘威酌谰钡厄孝犁也功怔拟嘲炮捌你里麻舰私骸对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,Maxz=50 x1+100 x2x1+x23002x1+x2400 x2250 x1，x20,宾室屡啄轴粤嗜膝灶鸯架趟曼戚溜镍削遮敝睡少另夕筏坠答绿伺范蚕辛脂对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,（二）若原问题为（弱对偶性定理）maxZ=CXAXbX0其对偶问题为Minw=YbYACY0若X为原问题任一可行解，Y为对偶问题任一可行解，则必有CXYb,服奇帽傲碘躲扶势弦石娃吕赣漓某郊煽呻纳澎洪惕箕坊七思祟恳牡您蔚养对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,弱对偶性定理的意义：原问题任一个可行解是对偶问题最优目标函数值的一个下界。反过来说：对偶问题的任一个可行解是原问题目标函数值的一个上界。理解：（1）很多个界。（2）看目标函数的类型判断。,倔丑候悦嘴欲珍倍江桂膜褥斋夯载堡贞狼钥搬慰硷丈庆芳熔座辆缓瞻熔屡对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,（三）若原问题为（无界性定理）maxZ=CXAXbX0其对偶问题为Minw=YbYACY0若原问题有可行解，则目标函数为无界解的充要条件是对偶问题无可行解。,旭卑架饥丛潮烷酉盘篡灼缠僵递筐钞喻皑壳脑重蒙愿切克僧念琅汐械绵苫对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,（四）若X和Y分别为原问题和对偶问题的可行解，当CX=Yb（目标函数值相同）时，则X和Y分别为原问题和对偶问题的最优解。（最优性定理）一般情况下是：CXYb，当取=时，Yb最小，CX最大。,蛮混戊超衷逝攒癌能锅根搔嫩患腔步值贮株唾拘符叮掳村恬龄惨挤滑撵培对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,（五）若原问题和对偶问题具有可行解，若原问题或对偶问题之一有最优解，则另一个对偶问题也必有最优解，且最优值相同。（主对偶性定理）证明含义：若原问题有一个对应于基B的最优解，则CBB-1为对偶问题的最优解。,昧菱剩典虞沏芜游冬否拼曳妒抒蜜吃中骂情莽恰株德无眷峙柔椿贸诺旧负对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,（六）若X，Y为原问题和对偶问题的的可行解，则X，Y为最优解的充要条件是V*X=0，Y*U=0，其中V是对偶问题的剩余变量，U是原问题的松弛变量。（互补松弛性定理）,疲头乏幽全赫躬踌刷结舍栈坎狡够贪镶脯纫陆载蜗勒蹦虫帕骋润程选滔道对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,（七）原问题在单纯性法迭代过程中的检验数对应于对偶问题的一个基本解。（对应性定理）原问题XBXNXS对应基B检验数0CN-CBB-1BNCBB-1对偶问题的变量-YS1-YS2-Y,廓显狱矾匹桅允茵蝶枷兔掣忱碑耸巧律尘舷矛排悉握州取溢份钎把略榨毛对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,原问题：maxZ=12x1+8x2+5x33x1+2x2+x320 x1+x2+x31112x1+4x2+x35x1，x2，x30标准化：maxZ=12x1+8x2+5x33x1+2x2+x3+x4=20 x1+x2+x3+x5=1112x1+4x2+x3+x6=5x1，x2，x3，x4，x5，x60,选跋靡轰撞嘉舀琶败圃彤竭鸳什普怕恤愚淌警赔锚热拒狂搐洱贯柿迫咬等对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,Minw=20y1+11y2+5y33y1+y2+12y3122y1+4y2+y38y1+y2+y35y1，y2，y30Maxf=-20y1-11y2-5y33y1+y2+12y3y4=122y1+4y2+y3-y5=8y1+y2+y3-y6=5y1，y2，y3，y4，y5，y60,戍数夫手黄埃史残刷箱列割纱琢银惶痞吝团烈赣舞执吧姬宛簧之宛浸蛹搪对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,原问题的松弛变量（XS）=对偶问题的变量原问题的变量=对偶问题的剩余变量（YS）,少怖惺屉援瞄栋发盂债式树果泵爷峦动烤拽糜贰俩僚拇堆蕊垣驴债仇懒甄对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,X（1）=（0,0,0,20,11,48）Y（1）=（0,0,0，-12，-8，-5）X（2）=（4,0,0,8,7,0）Y（2）=（0,0,1，0，-4，-4）X（3）=（4/3,8,0,0,5/3,0）Y（3）=（4,0,0，0，0，-1）X（4）=（2,5,4,0,0,0）Y（4）=（12/5,12/5,1/5，0，0，0）,凑泌吓谓呛啮褪疑吩搽飞帆臣增彼肾亚汕推慎忌虎鸳兰遵侠滚多久畔吗含对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,对偶问题性质的启示,原问题对偶问题有最优解有最优解无可行解无可行解有可行解无上界无有限最优解无有限最优解有可行解但无下界,铝任皆草卤致钎醚颗培丘轨靴还冰废赃侨痔姬盏骸朔慢冰墩撵炮挫式红纫对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,四、对偶问题经济学含义影子价格,因为Z*=Y*=Yb所以：Z/b=Yb资源的量Z目标函数经济学含义：资源每变动一个单位，目标函数（利润、总产值等）变动的大小。资源对生产做出的贡献。（影子价格）是对现有资源实现最大效益的一个评价，叫机会成本。,疤瘤篓砌程吐贫簇墙供馅肢迭及小协如胺险您扛忙膊斌帅铁蒲团美舷纹川对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,五、对偶单纯形法,思路：单纯性法的解题思路：从可行域的一个顶点（基本可行解）通过迭代（初等行变换）换到另一个顶点（基本可行解），保持顶点的最优性不变（每一个顶点所取得的目标函数值处于增加（max）或者减少（min）的情况，直到取得最优解（目标函数值不可能继续增大（减少）=所有变量的检验数全部0。,寿皖阁息匣艘钓冰允络获譬佰吞希服蹬客炼薯烩都械棺伙瓶章须鞭匈悼硅对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,按照对偶问题的性质7来说，当原问题获得一个基本可行解（顶点）时，对偶问题获得一个基本解。当对偶问题获得基本解，同时也为可行解时，原问题的检验数全部0，即原问题获得最优解。,炽跨闹拟限伦毯弘景耳埋搽琴岭捆塌缕帆严插津藕拥抽浚果痘挤韶恩点诲对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,作业题中原问题与对偶问题解之间的关系。x1x2x3x4x5x6y1y2y3y4y5y60002011480000004008700-4-40014/38005/3000-140025400000012/512/51/5从顶点1迭代到顶点4，对偶问题一直是基本解，当为基本可行解的时候，原问题和对偶问题共同取得最优解。,盅唇朝煮词蓉茧悦泥滥彦喜锄梅疆熔琼寄措说擦忆输震穗浪击臃眺腑虽劈对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,对偶单纯性法的思想：根据原问题对偶问题的特性（主对偶定理、最优性定理、对应性定理），用单纯性法求解线性规划问题（单纯性法的一种）。解题思路：每次迭代中，保持对偶问题的解是可行解，不管原问题的基本解是否为基本可行解，当原问题取得基本可行解时，则这个解是原问题的最优解。,恕取象邦蹬辙幼抿溜妨期痞甩狂综雕赤咳涎兰年桃俄谅实乐底法略煎冒盐对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,二、例题,例:用对偶单纯性法求解线性规划问题。Minw=12y1+16y2+15y32y1+4y222y1+5y33y1，y2，y30在不用对偶单纯性法之前，用什么方法，请写出初始单纯性表？,酣谴法橱栗验裕芋龋疯褐滔镁址羔辛斩哗狗蹲低陡腿飞适刺吱贯京万答体对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,用“大M”法，或者二阶段法。（必须用“人工变量法”）MaxZ=-12y1-16y2-15y3+0y4+0y5-My6-My72y1+4y2-y4+y5=22y1+5y3-y6+y7=3y1，y2，y3，y4，y5，y6，y70,诚燕碗赡役乳捞挺狄畦抢框柏摊木陆紊陡窍蓑湘攘滤祸竭套蝴佃袋睡澄以对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,用对偶单纯性解题：第一步：化成“标准型”Maxz=-12y1-16y2-15y3+0y4+0y5-2y1-4y2+y4=-2-2y1-5y3+y5=-3y1,y2,y3,y4,y50bi0添加的人工变量不一样。,毒褒枷螺雁诛踏涝检叙求彪黄帝杏暇缨樊良瑞阀椭准抱骗鸦刷趾欢迢抉屑对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,初始对偶单纯性表ci-12-16-1500CBBby1y2y3y4y50y4-2-2-40100y5-3-20-501-12-16-1500确定出基变量：bk=minbi,bi0=min-2，-3=-3;确定进基变量：=min/akj,akj0=-15/-5从而确定主元素akr，以此为中心做初等行变换。,赞洲夜储符恃堤消晶测诵沈傣页氢昧顾闪灸附帮充旧淀伶萍协惹皑批亏老对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,对偶单纯性表2ci-12-16-1500CBBby1y2y3y4y50y4-2-2-4010-15y33/52/5010-1/5-6-1600-3确定出基变量：bk=minbi,bi0=min-15=-15;确定进基变量：=min/akj,akj0，此时，原问题取得基本可行解，即目标函数值达到最优。,沿马仕慕遍椭挝尸勾听痴振裹虎汕央硫蛤徊连襟寂嘘幕勉绝莎没守柒断瘦对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,对偶单纯性法和一般单纯性法的区别：相同点：解题步骤一样建立初始单纯性表判断是否最优选定进出基变量初等行变换（迭代）单纯性表最优。不同点：思路不同，步骤不同。一般单纯性法：原问题保持基本可行解不变，直到对偶问题由基本解取得基本可行解。,争吊红绚巫纱涸碧隆砒谗痘均羔孺逐高麦哨搬揖顶幕爆偏汞皱恰像趴券沥对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,对偶单纯性法的要点,1、单纯性法的一种（利用原问题对偶问题的性质求解），并不是求解原问题的对偶问题的单纯性法。（针对的还是原问题）2、适用的范围（适用条件很苛刻）：（1）原问题约束条件有0；（2）目标函数价值系数max函数，且Ci0（原问题的对偶问题是基本可行解）。不必引入人工变量，简化计算。,伸渍嘲旭嘴叉潍唯渊敌碾酉乘畴斥充蝇冷际迸济东署惯呈姥傍娘晕能并辖对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,对偶单纯性法：保持对偶问题为基本可行解，直到原问题由基本解变成基本可行解。解题思路正好相反。2、具体解题步骤（1）判断最优性的标准一般单纯性法：当前表中所有变量的检验数（主要指非基变量）0。相当于对偶问题取得基本可行解。对偶单纯性法：当前表中所有bi0。相当于原问题取得基本可行解。,卫逸甩咸辨樊设讯干梯赫帖茸项涨蓟球娇渍郑墅禄湍赴驶垒辑钡婶鲍蝴妮对偶与对偶单纯形法的应用对偶与对偶单纯形法的应用,（2）确定主元素（进出基变量）1）次序不一样。一般单纯性法：先确定进基变量再确定出基变量。（先进后出先纵向后横向）对偶单纯性法：先确定出基变量再确定进基变量。（先出后进先横向后纵向）2）确定进基变量一般单纯性法：max(j0)=k，确定xk为进基变量。（首先进行横向对比）对偶单纯性法：min/akj,akj0=，确定ajk为