人教A版选修22 1.5.3 定积分的概念 课件（50张）.ppt

1.5.3定积分的概念,1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点a=x0x1xi-1xixn=b将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi-1，xi上任取一点i(i=1，2，n)，作和式=_，,当n时，上述和式无限接近某个_，这个_叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作_，即f(x)dx=_，这里，a与b分别叫做积分下限与_，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做_，x叫做_，f(x)dx叫做被积式.,常数,常数,积分上限,被积函数,积分变量,(2)定积分的几何意义：如果在区间a，b上函数连续且恒有_，那么定积分f(x)dx表示由直线x=a，x=b(ab)，_和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积).,f(x)0,y=0,2.定积分的性质(1)kf(x)dx=_(k为常数).(2)f1(x)f2(x)dx=_.(3)f(x)dx=f(x)dx+_(其中acb).,1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)dx=f(t)dt.()(2)f(x)dx的值一定是一个正数.()(3)(x2+2x)dx=x2dx+2xdx.(),【解析】1.(1)正确.由定积分的定义知f(x)dx=f(t)dt.(2)错误.当f(x)0时，定积分f(x)dx等于图形面积的相反数，可以是负值.(3)正确.由定积分的性质(2)，在公共的积分区间上，两个函数的和函数的定积分等于两个函数的定积分的和.答案：(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)由y=0，y=cosx，x=0，x=围成的图形的面积用定积分的形式表示为_.(2)f(x)dx=f(x)dx+_.(3)2xdx_2xdx.(填“”“=”或“”).,【解析】(1)由定积分的定义知y=0，y=cosx，x=0，x=围成的图形的面积s=cosxdx.答案：cosxdx(2)由定积分的几何意义知，f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.答案：f(x)dx(3)由定积分的几何意义知，2xdx2xdx.答案：,【要点探究】知识点1定积分的概念与几何意义1.对定积分概念与几何意义的三点说明(1)定积分的概念是对“分割、近似代替、求和、取极限”这四个步骤的高度概括，其中包含着重要的数学思想方法“以直代曲”，只有理解了定积分的定义过程，才能掌握定积分的计算与应用.,(2)定积分f(x)dx是一个常数实数，一般情况下，被积函数y=f(x)的图象可以在x轴的上方，也可以在x轴的下方，在积分区间a，b上，只有y=f(x)0(图象不在x轴的下方)时，f(x)dx才等于曲边梯形的面积，也就是说，在积分区间a，b上，当y=f(x)0(图象在x轴的下方时，f(x)dx0，-f(x)dx等于曲边梯形的面积，这是对定积分的几何意义的全面理解.,(3)对于具有公共区间a，b上的两个函数，若上界函数为f1(x)，下界函数为f2(x)，则直线x=a，x=b与曲线y=f1(x)，y=f2(x)围成平面图形的面积为s=f1(x)-f2(x)dx.,2.利用定积分的几何意义求定积分的关注点(1)当f(x)0时，f(x)dx等于由直线x=a，x=b，y=0与曲线y=f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义.(2)计算f(x)dx时，先明确积分区间a，b，从而确定曲边梯形的三条直边x=a，x=b，y=0，再明确被积函数f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积s而得到定积分的值：当f(x)0时，f(x)dx=s；当f(x)0时，f(x)dx=-s.,【微思考】(1)不规则的图形如何求面积?提示：常用分割法，将其分割为规则图形，再求面积.(2)定积分是否一定表示图形面积?说明理由.提示：定积分f(x)dx不一定表示面积，因为f(x)dx可能为负值，此时面积为-f(x)dx.,【即时练】1.xdx的值为()a.1b.c.2d.-22.直线y=0，x=1，x=2，曲线y=围成的曲边梯形的面积用定积分表示为_.,【解析】1.选c.由定积分的几何意义知：xdx等于直线x=0，x=2，y=0，y=x围成的三角形面积，s=22=2，所以xdx=2.2.由直线y=0，x=1，x=2，曲线y=围成曲边梯形可知，积分区间为1，2，被积函数为y=，所以曲边梯形的面积用定积分表示为答案：,知识点2定积分的性质1.对定积分的性质的说明定积分的性质(1)，(2)称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：f1(x)f2(x)fm(x)dx=f1(x)dxf2(x)dxfm(x)dx(mn*).f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx(ac1c2ckb，且kn*).,2.求定积分时常用的策略(1)分段函数求定积分：分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加.(2)奇、偶函数在区间a，b上的定积分：若奇函数y=f(x)的图象在-a，a上连续，则f(x)dx=0；若偶函数y=g(x)的图象在-a，a上连续，则g(x)dx=2g(x)dx.,【微思考】(1)定积分(x2+x+1)dx与x2dx，(x+1)dx有什么关系?提示：(x2+x+1)dx=x2dx+(x+1)dx.(2)定积分(3x+1)dx与(3x+1)dx，(3x+1)dx有何关系?提示：(3x+1)dx=(3x+1)dx+(3x+1)dx.,【即时练】1.已知f(x)dx=8，则()a.f(x)dx=4b.f(x)dx=4c.f(x)dx+f(x)dx=8d.以上答案都不对2.若f(x)dx=1，g(x)dx=5，则f(x)+g(x)dx=_.,【解析】1.选c.由定积分的运算性质知：f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=8.2.由定积分的运算性质知：f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx=1+5=6.答案：6,【题型示范】类型一利用定义求定积分【典例1】(1)可化为()a.ln2xdxb.2lnxdxc.2ln(x+1)dxd.ln2(x+1)dx(2)利用定积分的定义求(x2+2)dx的值.,【解题探究】1.在题(1)中，与有何关系？2.定积分与曲边梯形的面积求解步骤有什么关系？【探究提示】1.由对数运算法则知，2.定积分概括了求曲边梯形面积的四个步骤(1)分割.(2)近似代替.(3)求和.(4)取极限.,【自主解答】(1)选b.因为=,(2)把区间0，1分成n等份，分别为0，小区间的长度为x=，取i=(i=1，2，n)，作和因为x=，当n时，x0，,所以(x2+2)dx=,【延伸探究】若题(2)的积分区间变为-1，1，其余不变，如何计算定积分(x2+2)dx？【解析】由于在-1，1上曲线y=x2+2关于y轴对称，根据定积分的意义，(x2+2)dx=2(x2+2)dx=,【方法技巧】利用定义求定积分的步骤,【变式训练】利用定积分的定义计算(-x2+2x)dx的值.【解析】令f(x)=-x2+2x.(1)分割在区间1，2上等间隔地插入n-1个分点，把区间1，2等分为n个小区间1+，(i=1，2，n)，每个小区间的长度为,(2)近似代替、作和取i=1+(i=1，2，n)，则sn=(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(2n)2+(n+1)+(n+2)+(n+3)+2n=,(3)取极限,【补偿训练】计算定积分(x+1)dx.【解析】所求定积分是x=1，x=2，y=0与y=x+1所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为即：,类型二利用定积分的性质计算定积分【典例2】(1)f(x)=则f(x)dx=()a.(x+1)dxb.2x2dxc.(x+1)dx+2x2dxd.2xdx+(x+1)dx,(2)已知f(x)dx=8，则f(x)-2xdx=_.(3)已知xdx=，x2dx=，求下列定积分的值：(2x+x2)dx；(2x2-x+1)dx.,【解题探究】1.题(1)中求f(x)dx时需分几段?2.在题(2)中f(x)-2xdx与f(x)dx，(-2x)dx有何等量关系?3.在题(3)中如何用已知定积分来表示所求积分值?【探究提示】1.需分两段求解，一是(x+1)dx，另一个是2x2dx.2.f(x)-2xdx=f(x)dx+(-2x)dx.3.(2x2-x+1)dx=2x2dx-xdx+1dx.,【自主解答】(1)选c.由定积分的几何性质得：f(x)dx=(x+1)dx+2x2dx(2)由定积分的性质得：f(x)-2xdx=f(x)dx+(-2x)dx=f(x)dx-2xdx，因为f(x)dx=8，xdx=22=2，所以f(x)-2xdx=f(x)dx-2xdx=8-22=4.答案：4,(3)(2x+x2)dx=2xdx+x2dx=(2x2-x+1)dx=2x2dx-xdx+1dx，因为已知xdx=，x2dx=，又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x=0，x=e，y=0，y=1所围成的图形的面积，所以1dx=1e=e，故(2x2-x+1)dx=,【方法技巧】利用定积分的性质计算定积分的步骤(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算.(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算.,【变式训练】求f(x)dx，其中f(x)=且(2x-1)dx=-2，e-xdx=1-e-1.【解题指南】利用定积分的性质，分段求定积分后再相加.,【解析】对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=(2x-1)dx+e-xdx=-2+1-e-1=-(e-1+1).,【补偿训练】已知an=(2x+1)dx，数列前n项和为sn，数列bn的通项公式为bn=n-8，则snbn的最小值为_.【解析】因为(2x+1)dx=n2+n.所以所以数列的前n项和为sn=,则snbn=因为函数y=x+(x0)在(0，3)上是减函数，在(3，+)上是增函数，所以x=3时y有最小值6，故snbn=n+1+-106-10=-4，所以snbn的最小值为-4.答案：-4,【易错误区】因忽视定积分的几何意义而导致错误【典例】定积分=_.【解析】曲线y=即x2+y2=4(0x2，0y2)表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限及x，y轴正半轴上的部分，表示被积函数，在积分区间0，2上的图象与x=0，y=0，x=2围成的平面图形的面积s=r2=，,即所以=-.答案：-,【常见误区】,【防范措施】1.全面理解定积分的几何意义定积分f(x)dx是对求曲边梯形面积的四个步骤的概括与推广，其本质是f(x)dx=当f(x)0时，定积分就等于曲边梯形的面积；当f(x)0时，定积分等于曲边梯形的面积的相反数.如本例中f(x)0.,2重视定积分的运算性质的应用计算