人教A版必修1 3.1.1方程的根与函数的零点 课件（47张）.ppt

人教版必修1,第三章函数的应用,3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点,一、函数的零点1.定义若实数x是函数y=f(x)的零点，则需满足条件_.2.方程的根、函数的图象、函数的零点三者之间的关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有_函数y=f(x)有_.,f(x)=0,交点,零点,思考：函数y=x2有零点吗?提示：x=0时，y=0，函数有零点，是0.,二、函数零点的判断条件:(1)函数y=f(x)在区间_上的图象是连续不断的一条曲线;(2)_.结论：函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在_,使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.,a,b,f(a)f(b)0,c(a,b),判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)只要方程有实数根，则相对应的函数图象一定与x轴有交点.()(2)若函数f(x)在区间2,6上有f(2)f(6)0，则函数在此区间内有零点.()(3)设f(x)在区间a,b上是连续的且是单调函数,且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在闭区间a,b内有唯一实数根.(),提示：(1)正确，方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标，即函数的零点，故此说法正确.(2)错误.不知道该函数在此区间内的图象是否连续.(3)正确.由函数是连续的且f(a)f(b)0知，f(x)=0在a,b上至少有一实数根,又f(x)在a,b上单调,从而可知必有唯一实数根.答案：(1)(2)(3),【知识点拨】1.对函数零点概念的认识(1)函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,函数值为零.(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如函数y=3,y=x2+1就没有零点.,(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.如果方程有二重实数根，可以称函数有二重零点.若函数y=f(x)有零点,则零点一定在其定义域内.,2.从三方面正确把握函数零点存在的判断方法(1)并不是所有的函数都有零点，如函数(2)一个函数y=f(x)在区间a,b内若具备两个条件：函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线;f(a)f(b)0.则该函数在(a,b)内有零点，反之则不一定成立.(3)对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号，如函数y=x2有零点0，但显然当它通过零点时函数值没有变号.,类型一求函数的零点【典型例题】1.函数f(x)=x23x4的零点是()a.1，-4b.4，-1c.1，3d.不存在2.函数f(x)=ax+b有一个零点是2，求函数g(x)=bx2ax的零点.,【解题探究】1.函数的零点的本质是什么？2.函数的零点与方程的根有何对应关系?探究提示：1.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数.2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.,【解析】1.选b.令x23x4=0，得x=4或x=1.2.f(x)=ax+b有一个零点是2，得2a+b=0，则g(x)=bx2ax=2ax2ax，令2ax2ax=0，则g(x)的零点为0和,【拓展提升】函数零点的两种求法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(2)几何法:画出函数y=f(x)的图象,则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.,【变式训练】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)=x2+2x+4.(2)f(x)=2x-3.【解析】(1)令x2+2x+4=0，由于=22-414=-120，所以方程x2+2x+4=0无实数根，所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.(2)令2x-3=0，解得x=log23，所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.,类型二函数零点个数的判定【典型例题】1.若函数f(x)的定义域为(,0)(0,+)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0,+)上是减函数，f(2)=0，则函数f(x)的零点有()a.一个b.两个c.至少两个d.无法判断,2.二次函数f(x)=ax2+bx+c中，ac0,f(1.5)=-ln2+0.0150,所以f(3)f(1.5)0,说明函数f(x)=ln(x1)+0.01x在区间(1.5,3)内有零点.又y=ln(x1)与y=0.01x在(1,+)上都是增函数,所以f(x)在(1,+)上是增函数,所以该函数只有一个零点.,方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x1)和g(x)=-0.01x的图象,如图.由图象知h(x)=ln(x1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)=ln(x1)+0.01x有且只有一个零点.,【互动探究】若题2中二次函数改为“f(x)=cx2+bx+a”，条件“ac0，函数有两个零点.答案：2,【拓展提升】确定函数零点个数的方法(1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决.(2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数.(3)图象法:指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决.(4)单调性法:常规方法不易判断时,可利用函数的单调性来判断函数零点的个数.,类型三判断函数零点所在区间【典型例题】1.已知函数f(x)=x3x1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()a.(3,4)b.(2,3)c.(1,2)d.(0,1),2.已知函数f(x)在区间a,b上单调且图象连续，且f(a)f(b)0，则函数f(x)在区间(a,b)上()a.至少有三个零点b.可能有两个零点c.没有零点d.必有唯一零点【解题探究】1.函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？2.函数在区间(a,b)上存在唯一零点应具备什么条件？,探究提示：1.两个必备条件是：(1)函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线.(2)f(a)f(b)0.确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反.2.除应具备函数零点存在的两个条件外，还需要函数在此区间上单调.,【解析】1.选c.f(0)=10，f(1)f(2)0，此零点一定在(1,2)内.2.选d.函数f(x)在区间a,b上单调且图象连续，故其图象与x轴至多有一个交点，又f(a)f(b)0，所以必有一个交点.,【拓展提升】判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断.(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.,【变式训练】方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根()a.(2,1)b.(0,1)c.(1,2)d.(1,0)【解析】选d.令f(x)=2x+x，f(1)f(0)=()10，f(x)=2x+x的零点在区间(1,0)内，故2x+x=0在区间(1,0)内有实数根.,【典型例题】1.已知函数f(x)=(xa)(xb)+1(ab)，且m，n是方程f(x)=0的两个根(mn)，则实数a，b，m，n的大小关系可能是()a.mabnb.amnbc.manbd.ambn2.方程x23x+a=0的两根均大于1，求实数a的取值范围.,一元二次方程的区间根问题,【解析】1.选b.由函数f(x)=(xa)(xb)+1，可得f(a)=f(b)=1.又m，n是方程f(x)=0的两个根，故可画出函数的大致图象如图：所以应该有am0；当x0时，f(x)0时，令2+lnx=0，解得x=e2，所以函数有2个零点.,2.函数y=log2(x2+1)的零点是_.【解析】令log2(x2+1)=0,即x2+1=1,x=0.答案：0,【防范措施】明确定理成立的条件零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线;二是f(a)f(b)0.这两个条件缺一不可.如果其中一个条件不成立，那么就不能在区间a,b上使用该定理，如本例f(x)=x+在-1，1上不连续，故不能在区间-1,1上直接使用零点存在性定理.,1.函数f(x)=2x+m的零点为4，则实数m的值为()a.-6b.8c.d.【解析】选b.f(x)=2x+m的零点为4，所以24+m=0，m=8.,2.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是()a.a1c.a1d.a1【解析】选b.函数f(x)=x2+2x+a没有零点，即方程x2+2x+a=0没有实数根，所以=44a1.,3.函数f(x)=x32x2+3x的零点有()a.一个b.两个c.三个d.无零点【解析】选a.令x32x2+3x=x(x22x+3)=0，方程x2-2x+3=0的=(-2)2-430,x2-2x+3=0没有实数根，故方程x3-2x2+3x=0有实数根x=0，所以f(x)=x32x2+3x只有一个零点.,4.函数的零点是_.【解析】令得，x=2.答案：2,5.函数f(x)为偶函