向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题

空间向量法解立体几何中的探索性问题,解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz。,小结：若用传统的几何证明的方法求这类探索性问题，需要猜测、寻找适合条件的点，然后证明，思维上造成困难。而用空间向量只要设出变量，就可利用向量运算解决很久以来的学生的难点和困惑。,2、如图,已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2，1,（2）已知P是SC的中点，且SO=3，问在棱SA上是否存在一点Q，使异面直线OP与BQ所成角为900？若不存在，说明理由，若存在，求出AQ的长。,（1）证明：在SDC内，作SECD交CD于E，连接OE，因为SO平面ABCD，所以SOCD,CD平面SOE，CDOE，所以OE/AD，所以DE=1，CE=3,（2）以O为坐标原点,以平行于AD的直线为x轴,平行于AB的直线为y轴,OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz。,则A（2，-1，0）B（2，3，0）C（-2，3，0），S（0，0，3），P（-1，3/2，3/2）,（X-2，Y+1，Z）=t（-2，1，3）,得：P（-2t+2，t-1，3t）,t=3/4，Q（1/2，-1/4，9/4）,3、如图,在正四棱柱ABCD-ABCD中,P是侧棱AA上任意一点，（1）不论P在侧棱上任何位置，是否总有BDCP？说明你的理由；,（2）若CC=AB，是否存在这样的点P，使得异面直线CP与AB所成的角比异面直线AC与BP所成的角大？并说明理由。,解:建立空间直角坐标系,A(0,0,0),P(O,O,Z),B(1,0,0),D(0,1,0),PC=(1,1,-z),BD=(-1,1,0),PCBD=0,（3）若CC=2AB，则当点P在侧棱AA上何处时，CP在平面BAC上的射影是BCA的平分线？,4、如图,直三棱柱ABC-ABC中,CC=CB=CA=2,ACCB,D、E分别为棱CC、BC的中点，（1）求点B到平面ACCA的距离；（2）求二面角B-AD-A的大小；（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF平面ABD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由。,5、如图,在长方体ABCD-ABCD中,AA=AD=1,AB1,点E为棱AB上的动点,有一只小蚂蚁从点A沿长方体表面爬到点C,所爬的最短路程为,(1)求AB的长度;(2)在线段AB上是否存在点E,使得二面角D-EC-D的大小为450?若存在,确定E点位置;若不存在,请说明理由。,a=1,7如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，P是侧棱CC上的一点，CP=m。（）试确定m，使直线AP与平面BDDB所成角的正切值为；（）在线段AC上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，DQ在平面APD上的射影垂直于AP，并证明你的结论。,图形的展开与翻折问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.在历年高考中以图形的展开与折叠作为命题对象时常出现,因此,关注图形的展开与折叠问题是非常必要的.,把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是翻折问题。,例题分析:,M,(1)先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，(2)将不变的条件集中到立方体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立几问题。,小结：求解翻折问题的基本方法：,H,分析:(1)建系,以O为坐标原点,OA、OB、OC所在直线为X轴、Y轴、Z轴，则有A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,),O1(0,0,)从而,1.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BMED；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DMBN以上四个命题中正确的序号是()(A)、(B)、(C)、(D)、,D,强化练习:,2.如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将DAE和CBE沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合,记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为_.,30,小结:,1.要解决好折叠和展开这类问题需要较强的空间想象能力，并明确以下两点：(1)折叠前、后的平面图与立体图中各个元素间大小和位置关系，哪些发生变化，哪些不变一般情况下，原图中的一部分仍在同一个半平面内，与组成这部分图形的元素保持着原有的数量及位置关系，抓住这些不变量和不变关系是解决折叠问题的关键(2).根据不变量及有关定理、公式进行推理或计算,2.本节课主要培养学生的空间想象力,体现化归的数学思想.,练习：如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于