软件工程辅导高等数学(二)ppt课件

.,1,高等数学复习讲座第二讲多元函数微积分学,.,2,二元函数的微分与偏导数及连续的关系,.,3,在点,对的偏导数,函数,机动目录上页下页返回结束,注意:,偏导数,.,4,解1,解2,.,5,解,全微分,.,6,多元复合函数的求导法,复合函数求导的链式法则,.,7,.,8,隐函数求导法,.,9,5.设,解法1对求偏导,视,机动目录上页下页返回结束,再对y求偏导,视,.,10,解法2,设,两边对y求偏导,视,机动目录上页下页返回结束,5.设,.,11,偏导数在几何上的应用,一、空间曲线的切线与法平面,空间曲线由参数方程表示,曲线在M0处的切线方程,法平面：过M0点且与切线垂直的平面:,切向量：,.,12,解,切线方程,法平面方程,.,13,设曲面方程为,二、空间曲面的切平面与法线,1.空间曲面由隐式给出的情形,法线方程：,法向量:,.,14,7求球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解,所以球面在点(1,2,3)处有,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动目录上页下页返回结束,.,15,2.曲面由显函数给出的情形,空间曲面方程形为,曲面在M0处的切平面方程为,曲面在M0处的法线方程为,令,.,16,解,切平面方程为,法线方程为,.,17,.,18,方向导数与梯度,.,19,解,.,20,.,21,时,具有极值,定理(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A0时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,机动目录上页下页返回结束,无条件极值,.,22,12,求函数,解求驻点.,得驻点:(0,3),为极小值。,解方程组,的极值.,机动目录上页下页返回结束,.,23,引入辅助函数,辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,机动目录上页下页返回结束,条件极值,.,24,解设拉格朗日函数,解方程组,机动目录上页下页返回结束,13求原点到曲面,上的点的最短距离.,.,25,解方程组,机动目录上页下页返回结束,.,26,解,设拉格朗日函数,.,27,解,设拉格朗日函数,.,28,一、利用直角坐标计算二重积分,机动目录上页下页返回结束,二重积分的计算,.,29,15计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,机动目录上页下页返回结束,.,30,机动目录上页下页返回结束,二、利用极坐标计算二重积分,.,31,16计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动目录上页下页返回结束,.,32,.,33,三重积分的计算,1.利用直角坐标计算三重积分,方法1.投影法(“先一后二”),方法2.截面法(“先二后一”),化为三次积分,机动目录上页下页返回结束,.,34,其中为三个坐标,18计算三重积分,所围成的闭区域.,解:,面及平面,机动目录上页下页返回结束,先一后二,.,35,19计算三重积分,解:,先二后一,机动目录上页下页返回结束,.,36,2.利用柱坐标计算三重积分,直角坐标与柱面坐标的关系:,机动目录上页下页返回结束,.,37,20计算三重积分,解:在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中由抛物面,原式=,机动目录上页下页返回结束,.,38,3.利用球坐标计算三重积分,直角坐标与球面坐标的关系,机动目录上页下页返回结束,.,39,21计算三重积分,解:在球面坐标系下,其中,机动目录上页下页返回结束,.,40,.,41,先二后一,.,42,区域D分类,单连通区域(无“洞”区域),多连通区域(有“洞”区域),域D边界L的正向:域的内部靠左.,函数,在D上具有连续一阶偏导数,格林公式,机动目录上页下页返回结束,.,43,23计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解:添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,机动目录上页下页返回结束,格林公式,.,44,第二类曲面积分的计算,.,45,24,其中S为曲面,的外侧.,解,.,46,高斯(Gauss)公式,设空间闭区域由分片光滑的闭曲,上有连续的偏导数,P,Q,R在,的方向取外侧,则有,高斯目录上页下页返回结束,面所围成,(非闭曲面时注意添加辅助面),.,47,25设为曲面,取上侧,求,解:,作取下侧的辅助面,机动目录上页下页返回结束,Gauss公式,.,48,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,机动目录上页下页返回结束,二阶常系数齐次线性微分方程,.,49,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,27求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动目录上页下页返回结束,.,50,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,机动目录上页下页返回结束,二阶常系数线性非齐次微分方程,0为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,.,51,解:,特征方程为,是特征方程的1重根.,所求特解为,故原方程的特解形式为:,机动目录上页下页返回结束,不是特征方程的根.,所求特解为,特征根为,.,52,的一个特解.,解:,特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,机动目录上页下页返回结束,.,53,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,机动目录上页下页返回结束,.,54,幂级数及其收敛性,幂级数,的收敛半径为,幂级数在(R,R)内绝对收敛;,在R,R外发散.,可能收敛也可能发散.,在,(R,R)加上收敛的端点称为收敛区间.,.,55,对端点x=1,的收敛半径及收敛区间.,解:,对端点x=1,级数为交错级数,收敛;,级数为,发散.,故收敛域为,31求幂级数,.,56,的和函数,解:,.,57,33求幂级数,的和函数,解:,.,58,常用函数的幂级数展开式,函数展开成幂级数,.,59,34将函数展开成x的幂级数,解:,x1时,此级数条件收敛,机动目录上页下页返回结束,.,60,矩阵的初等变換,.,61,矩阵的初等变換,.,62,.,63,齐次线性方程组,即AX=0,平凡解：X=0(零解),设A=(1,2,n),则下