高中数学：3．2 立体几何中的向量方法（第五课时）课件人教版必修2.ppt

3.2立体几何中的向量方法（一）,设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面，的法向量分别为u,v,则,二、讲授新课,1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形问题）,例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点a为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,解：如图1，设,化为向量问题,依据向量的加法法则，,进行向量运算,所以,回到图形问题,这个晶体的对角线的长是棱长的倍。,思考：,（1）本题中四棱柱的对角线bd1的长与棱长有什么关系？,分析:,思考：,（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?,分析:,这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。,（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）,h,分析：面面距离,回归图形,点面距离,向量的模,解：,所求的距离是,h,练习:,如图2，空间四边形oabc各边以及ac，bo的长都是1，点d，e分别是边oa，bc的中点，连结de，计算de的长。,例2：如图3，甲站在水库底面上的点a处，乙站在水坝斜面上的点b处。从a，b到直线（库底与水坝的交线）的距离ac和bd分别为和,cd的长为,ab的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,因此,设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,例2：如图3，甲站在水库底面上的点a处，乙站在水坝斜面上的点b处。从a，b到直线（库底与水坝的交线）的距离ac和bd分别为和,cd的长为,ab的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,思考：,（1）本题中如果夹角可以测出，而ab未知，其他条件不变，可以计算出ab的长吗？,分析：,可算出ab的长。,（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？,分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为。,（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？,a1,b1,c1,d1,a,b,c,d,分析：,二面角,平面角,向量的夹角,回归图形,解：如图，在平面ab1内过a1作a1eab于点e，,e,f,在平面ac内作cfab于f。,可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。,练习：,（1）如图4，60的二面角的棱上有a、b两点，直线ac、bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直ab，已知ab4，ac6，bd8，求cd的长。,（2）三棱柱abc-a1b1c1中，底面是边长为2的正三角形，a1ab45，a1ac60，求二面角b-aa1-c的平面角的余弦值。,小结：,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,面面距离,回归图形,点面距离,向量的模,二面角,平