《逻辑代数基础》PPT课件

第二章逻辑代数基础,思考题,第二章逻辑代数基础,基本概念逻辑：事物的因果关系逻辑运算的数学基础：逻辑代数在二值逻辑中的变量取值：0/1,2.1逻辑代数中的三种基本运算,与（AND）或（OR）非（NOT）,以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以B=1表示开关B合上，B=0表示开关B断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；三种电路的因果关系不同：,与,条件同时具备，结果发生Y=AANDB=A&B=AB=AB,或,条件之一具备，结果发生Y=AORB=A+B,非,条件不具备，结果发生,几种常用的复合逻辑运算,与非或非与或非,几种常用的复合逻辑运算,异或,几种常用的复合逻辑运算,同或,2.2.1基本公式,表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式,表2.3.1逻辑代数的基本公式,2.2逻辑代数的基本公式和常用公式,2.交换律、结合律、分配律,a.交换律：AB=BAA+B=B+A,b.结合律：A（BC）=（AB）CA+（BC）=（AB）+C,c.分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C),1.关于变量与常数关系的定理,逻辑代数的基本公式,说明：由表中可以看出,a.互补律：,b.重叠律：AA=AA+A=A,c.非非律：,d.吸收律：A+AB=AA(A+B)=A,e.摩根定律：,注：以上定律均可由真值表验证,3.逻辑函数独有的基本定理,逻辑代数的基本公式,逻辑代数的基本公式和常用公式,表2.3.1逻辑代数的基本公式,表2.3.2常用公式,2.2.2若干常用公式,逻辑代数的基本公式和常用公式,2.3逻辑代数的基本定理,2.3.1代入定理任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然成立。,利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式,2.3.1代入定理,应用举例：式A+BC=(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D),？,应用举例：,2.3.1代入定理,利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式,2.3逻辑代数的基本定理,2.3.2反演定理若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将Y式中所有的“.”换为“+”,“+”换为“.”,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，所有原变量（不带非号）变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数Y的反函数（补函数）。,2.3.2反演定理,2.3.2反演定理-对任一逻辑式,变换顺序先括号，然后乘，最后加,不属于单个变量的上的反号保留不变,2.3.2反演定理,应用举例：,2.3.2反演定理,解：由反演定理,例若Y（AB）CD+C，求反函数,2.3逻辑代数的基本定理,2.3.3对偶规则设Y是一个逻辑函数，如果将Y中所有的“+”换成与“”，“.”换成与“+”，“1”换成与“0”，“0”换成与“1”，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式YD称为Y的对偶式。,如：,2.3.3对偶规则,对偶规则：如果两个函数Y和G相等，则其对偶式YD和GD也必然相等。利用对偶式可以证明一些常用公式,例试利用对偶规则证明分配律ABC=(A+B)(A+C)式子成立,证明：设YABC，G(A+B)(A+C)，则它们的对偶式为,由于,故YG，即ABC=(A+B)(A+C),2.3.3对偶规则,证明：设,则它们的对偶式为,由于,故YG，即,试利用对偶规则证明吸收律AABAB式子成立,2.4逻辑函数及其表示方法,真值表,逻辑式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。如异或关系的逻辑函数可写成YABAB,逻辑式,逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。下图表示的是异或关系的逻辑图,逻辑图,波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形，也称时序图。如,波形图,卡诺图,逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表n变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。,逻辑函数的两种标准形式,最小项之和最大项之积,两变量A，B的最小项三变量A，B，C的最小项,逻辑函数的最小项之和的形式,最小项举例：,最小项的编号,逻辑函数转化成最小项之和的形式,例：,利用公式可将任何一个函数化为,逻辑函数最小项之和的形式,逻辑函数转化成最小项之和的形式,例：,卡诺图,逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表n变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。,表示最小项的卡诺图,二变量卡诺图三变量的卡诺图,4变量的卡诺图,各种表现形式的相互转换,真值表逻辑式例：奇偶判别函数的真值表A=0，B=1，C=1使ABC=1A=1，B=0，C=1使ABC=1A=1，B=1，C=0使ABC=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以Y=?,真值表逻辑式：找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些变量相加即得Y。,各种表现形式的相互转换,例2.5.2已知真值表如表2.5.2所示，试写出输出的逻辑函数,解：其输出的逻辑函数为,各种表现形式的相互转换,真值表逻辑式：找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些变量相加即得Y。把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列出真值表,各种表现形式的相互转换,例2.5.3写出逻辑函数YABC的真值表,解：其真值表如表2.5.3所示,各种表现形式的相互转换,逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。,各种表现形式的相互转换,例2.5.4画出逻辑函数Y(AB+C)(AC)B)的逻辑电路,解：其实现电路如图2.5.3所示,各种表现形式的相互转换,逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。,各种表现形式的相互转换,例2.5.5已知逻辑电路如图2.5.4，试写出输出端的逻辑函数式。,解：输出的逻辑式为,各种表现形式的相互转换,波形图真值表,各种表现形式的相互转换,将每个时间段内输入变量和输出的取值对应列表，即可得到函数的真值表。,波形图真值表,各种表现形式的相互转换,例2.5.6已知图所示是某个逻辑电路的输入输出波形，试画出该真值表，并判断其逻辑功能,波形图真值表,各种表现形式的相互转换,例2.5.9已知逻辑函数的真值表如表2.5.9所示，试画出输入输出波形。,解：由真值表画出输入输出波形如图2.5.9所示,卡诺图真值表,各种表现形式的相互转换,根据真值表得到其卡诺图如表2.6.6所示,卡诺图逻辑式,各种表现形式的相互转换,卡诺图用于化简逻辑函数式,真值表,逻辑式,逻辑图,波形图,卡诺图,各种表现形式的相互转换,2.5逻辑函数的化简法,逻辑函数的最简形式最简与或-包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。,2.5逻辑函数的化简法,逻辑函数的化简有两种方法,公式化简法,卡诺图化简法,公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理、公式和运算规则，消去多余的乘积项和多余的因子。,将逻辑函数的真值表图形化，将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来，然后完成相邻最小项的合并。,反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。例：,2.5.1公式化简法,一般化简需要各种方法综合起来。化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难以判断。,2.5.2卡诺图化简法,将函数表示为最小项之和的形式。在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0。,用卡诺图表示逻辑函数,表示最小项的卡诺图,二变量卡诺图三变量的卡诺图,4变量的卡诺图,最小项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1。任何两个最小项之积为0。两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。-相邻：仅一个变量不同的最小项如,最大项之积,最大项M：M是相加项；包含n个因子。n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次。如：两变量A,B的最大项,对于n变量函数2n个,最大项的性质,在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；任何两个最大项之和为1；只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。,最大项的编号,设有三变量A、B、C的最小项，如m5ABC，对其求反得,由此可知对于n变量中任意一对最小项mi和最大项Mi，都是互补的，即,最小项与最大项的关系,若某函数写成最小项之和的形式为,则此函数的反函数必为,如表2.5.15中,最小项与最大项的关系,利用反演定理可得,上式或写成,最小项与最大项的关系,最小项与最大项的关系,例2.5.12试将下列函数利用真值表转化成两种标准形式,解：其真值表如表2.5.16所示,逻辑函数转化成两种标准形式,逻辑函数的标准或与型为,则逻辑函数的标准与或型为,逻辑函数转化成两种标准形式,用卡诺图表示逻辑函数,A,BC,用卡诺图化简函数,依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。,卡诺图化简的原则,化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即覆盖图中所有的1。乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少。每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大。,为了使圈成的矩形最大，可以在不同的圈中反复圈入某一项。边边相连，角角相连。,合并最小项的原则：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子,用卡诺图化简函数,例：,A,BC,用卡诺图化简函数,例：,A,BC,用卡诺图化简函数,例：,A,BC,用卡诺图化简函数,例：,化简结果不唯一,用卡诺图化简函数,例用卡诺图简化下面逻辑函数,解:,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,用卡诺图化简函数,例：,AB,CD,用卡诺图化简函数,例：,AB,CD,用卡诺图化简函数,注：以上是通过合并卡诺图中的“1”项来简化逻辑函数的，有时也通过合并“0”项先求F的反函数，再求反得Y,例如上面的例题,圈“0”情况如表所示，可得,用卡诺图化简函数,a.任意项：输入变量的某些取值对电路的功能没影响，这些项称为任意项。,例如8421BCD码取值为00001001十个状态，而10101111这六个状态不可能出现，故对应的函数取“0”或取“1”对函数没有影响，这些项就是任意项。,2、化简时，根据需要任意项可以作为“1”也可作“0”处理，以得到相邻最小项矩形组合最大（包含“1”的个数最多）为原则。,1、将任意项在卡诺图相应位置用“”表示,最小项的表达式为,其中d为任意项,无关项的逻辑函数化简,例用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式,解：根据Y的卡诺图,则最简与或式为,1,1,1,1,1,1,无关项的逻辑函数化简,无关项的逻辑函数化简,b.约束项：在逻辑函数中，输入变量的取值不是任意的，受到限制。对输入变量取值所加的限制称为约束，被约束的项叫做约束项。,例如有三个逻辑变量A、B、C分别表示一台电动机的正转、反转和停止。若A1表示电动机正转，B1表示电动机反转，C1表示电动机停止，则其ABC的只能是100、010、001，而其它的状态如000、011、101、110、111是不能出现的状态，故ABC为具有约束的变量，恒为0。可写成,这些恒等于“0”的最小项称为约束项,例试简化下列逻辑函数，写最简成与或式,解：约束条件为,则Y的卡诺图如所示,最简与或式为,1,1,1,1,1,无关项的逻辑函数化简,将约束项和任意项统称为无关项。即把这些最小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响,含有无关项的逻辑函数的表示方法,最小项的表达式为,其中d为无关项,也可以写成,利用无关项可以使得函数进一步简化,无关项的逻辑函数化简,化简步骤：1、用卡诺图表示逻辑函数2、合并的最小项矩形圈上所有的1矩形圈要最大，圈数要最少有无关项用“”表示，可作“1”也可作“0”3、化简后的乘积项相加,用卡诺图化简函数,2.6逻辑函数表达式类型的转换,逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或式、或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可由不同的门电路来实现。一般的逻辑函数为与或式（乘积和），这样需要转换成其它的形式，利用卡诺图可以很方便的实现转换。,与或式转换成与非式,1.与或式转换成与非式,利用摩根定理将整个与或式两次求反，即可得到与非式。,例2.6.1将下面逻辑函数简化成最简与非式,与或式转换成与非式,Y=AB+ABD+CD,Y=(Y)=(AB+ABD+CD),=(AB)(ABD)(CD),与或式转换成与或非式,2.与或