d2_1数列的极限与函数的极限

1,微积分I,教师：陈新宏单位：数学与计算科学学院,2,第二章极限与连续,1、数列极限2、函数极限3、极限的性质与运算法则4、极限存在准则及两个重要极限5、无穷小的比较与应用6、函数的连续性,3,一、极限的引入,4,1、刘徽的割圆术,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣。刘徽,我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法-割圆术（参看光盘演示）,就是极限思想在几何学上的应用.,5,2、古希腊阿基里斯悖论,公元前400多年，古希腊的芝诺提出的，若阿基里斯让乌龟几步，则阿基里斯永远也追不上乌龟的悖论,6,极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上.极限方法又是研究函数的一种最基本的方法.本节将首先给出数列极限的定义.,7,二、数列的极限,8,1、数列极限的定义,(1)数列:,无穷多个按顺序排列的数,例如,0,0,即,即,0,即,9,1,0,即,即,即,或者说，不存在,极限不存在,10,例1.求极限,解：原式=,11,练习一下,12,数列极限的定义:（定义1.1),总存在正整数N,当nN时，恒有,记作:,或,设有数列，若存在常数A，使对于任意给定的正数,13,数列极限的几何解释:,且不唯一.,注意,只有有限项(最多N项)落在邻域之外.,14,例2.证明,证,要使,取,成立,所以,（不作要求）,15,例如,数列,取奇数项:,取偶数项:,都是(1)的子数列.,又如,取奇数项:,取偶数项:,2、子数列及其敛散性,都是(2)的子数列.,1,1,1,1,-1,?,16,3、收敛数列与其子数列的关系,(1).逆命题不成立.,子数列收敛的数列未必收敛.,(2).逆否命题成立.,子数列发散的数列一定发散.,注意,结论,17,充要条件之一,18,例如,数列,例如,数列,19,练习一下,20,4、收敛数列的性质,定理1.1,极限的唯一性,定理1.2,收敛数列的有界性,注意,(1).定理1.3的逆命题不成立.,有界数列,未必收敛.,(2).定理1.3的逆否命题成立.,无界数列必发散.,有界但发散.,例如,数列,无界,故发散.,21,提高题目,例3设，求,22,三、函数的极限,1、当时,函数的极限,注意：,23,对函数，当无限增大时，函数值无限地趋近于常数A，则称当时，函数以A为极限。,对于任意给定的正数,总存在正数M,则称当时，函数以A为极限。,记作:,当|x|M时，恒有,注意,定义2.1,24,几何解释,“-M语言”定义,25,例4用定义证明：,证：,要使,只需,取,有,所以,问题,26,对函数，当取正值且无限增大时，函数值无限趋近于常数A,则称当时，函数以A为极限。,记作:,定义2.2,27,记作:,定义2.3,对函数，当取负值且无限增大时，函数无限趋近于常数A,则称当时，函数以A为极限。,28,充要条件之二,29,例5,不存在,30,解：,31,英雄不问出处,32,练习一下,33,1）了解极限的思想方法,要