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第七节函数的连续与间断,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义知,单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例3,解,2.可去间断点,例4,解,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例5,解,例6,解,关于连续函数，有以下结论：,定理1,例如,有限个连续函数的代数和、积、商在其定义区间内仍是连续函数，但在商的情况下分母不能为零,定理2单调连续函数有单调连续的反函数.,定理3,意义,在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，这个性质对计算复合函数的极限非常有用,注,1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续,例7,解,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例如,定理5基本初等函数在定义域内是连续的.,定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,注意初等函数求极限的方法代入法.,例8求,解,它的一个定义区间是,小结,1、函数在一点连续必须满足的三个条件;,2、区间上的连续函数;,3、间断点的分类与判别;,间断点,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,(见下图),第一类间断点,可去型,跳跃型,第二类间断点,无穷型,振荡型,4、连续函数的和差积商的连续性.,5
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