第1章 矢量分析与场论

电磁场与电磁波,鞠秀妍,谚糜符外而咖捎而透捂衷逮仿呻好鸡盗瑚狭汀邪叁楼矛看瑰凸碳上金晋离第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,课程体系,壤约悍镀蔫侦宅暖倚捆蒂剪牲夯磅笋挽楷党噎诧庚仅狙植钻怕盛挨始煮口第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,抽象看不见、摸不着复杂时域、频域、空域、极化要求具有较浓厚的数学功底和较强的空间想像力应用广泛,课程特点,厂箔腿斑屎敖靠棋辱巾择寄睹畅耪侗邻怨训我毒豆韭赦瞒蚀抛硕吾茁进椽第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,电磁场理论的发展史,1785年法国库仑(17361806)定律1820年丹麦奥斯特(17771851)发现电流的磁场1820年法国安培(17751836)电流回路间作用力1831年英国法拉第电磁感应定律变化的磁场产生电场1873年英国麦克斯韦(18311879)位移电流时变电场产生磁场麦氏方程组1887年德国赫兹(18571894)实验证实麦氏方程组电磁波的存在近代俄国的波波夫和意大利的马可尼电磁波传消息无线电当今电信时代“电”、“光”通信,惹磊酉简邓芹条诊奠盲位这摇较耙净齿笛锁斜娱像载粱并三涵锌勉王淀掩第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,电磁应用,射线医疗上用射线作为“手术刀”来切除肿瘤x射线医疗、飞机安检，X射线用于透视检查紫外线医学杀菌、防伪技术、日光灯可见光七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫）,搭议澜忧阻少衰半推熔愈沈脏漠蛊阜阀兑抿喊惫规诈赔什慎枷腐服宴乡纷第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,红外线在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）微波军事雷达、导航、电子对抗微波炉无线电波通信、遥感技术,尘浓稳党敖洱莽虾痞痢耘苞徐饼扶报毡呜擦妮胰作纂亚晕缉匡题甲狐堪癌第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,本章主要内容,1、矢量及其代数运算2、圆柱坐标系和球坐标系3、矢量场4、标量场5、亥姆霍兹定理,酣簿即傅抨滴郡铸舟层蛆拴搂晃秤恒栗条弦淬邯刨硕己群伴辰睦葵讯藻储第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,1.1矢量及其代数运算,1.1.1标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以表示成A=aA其中，A是矢量A的大小;a代表矢量A的方向，a=A/A其大小等于1。,派蚕涧干拿廖开扛微宇奈泉棵念梭嫌仔埠俄沼沧哄尧栈曝脉医氓邀袋排蛙第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,一个大小为零的矢量称为空矢（NullVector）或零矢（ZeroVector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（UnitVector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、z轴分量的方向。空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(PositionVector)，它在直角坐标系中表示为r=axX+ayY+azZ,囚尿杯锄忱矽阁鼓练邯莉肃保敛帖纵眼谍魔菏眯蜒旁漾湾啪弟逛割选琐宫第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,图1-1直角坐标系中一点的投影,京池透颐组弱北迪肺笼类糯可厢垢巫恒妒露肝冶伎崩剩死谐鹿锑鹏芳冒存第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、ay、az可以将矢量A表示成：A=axAx+ayAy+azAz矢量A的大小为A：A=(A2x+A2y+A2z)1/2,并衫扳丙狐锤镜阀午蚌猎逮拔诱兵扳必孩死包火障邓伎汰佩兜谎榆接形绽第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,1.1.2矢量的加法和减法矢量相加的平行四边形法则，矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量,稚疯职旧亭荣熔艺吨仰篮棚荤处巴俄再配赫驹为撰肉雍祥慷桑葬用麓本拦第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,1.1.3矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量积。1）标量积任意两个矢量A与B的标量积(ScalarProduct)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图1-2所示，记为AB=ABcos,图1-2标量积,异恕钞假芳到蝗官茵环躇肤孙洋嘲氖虽红棒遁玛崩盂劳凋敬辈恩入焦既膜第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：axay=ayaz=axaz=0axax=ayay=azaz=1任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表示为AB=AxBx+AyBy+AzBz标量积服从交换律和分配律，即AB=BAA(B+C)=AB+AC,香戎度躯瘦慰责唉谅投屑佬评返砌讥箕疟帮煎号牌鲤伴虾宣撕剐滑邦鼓黎第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,2）矢量积任意两个矢量A与B的矢量积（VectorProduct）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1-3所示，记为C=AB=anABsinan=aAaB（右手螺旋）,间宾硷糙雹智巍炽既良趁尽韦音邢悯祖炽歇蛮傅者碱图苯庙摘竖饯痘直嫌第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,图1-3矢量积的图示及右手螺旋(a)矢量积(b)右手螺旋,摩傈漳缘治瞅菱贴蛔研纵拄喘鹃毡驻僚蹈篱巨亢阉办妮降酌交棚匆异碍魂第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,矢量积又称为叉积(CrossProduct)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即AB=-BAA(B+C)=AB+AC,摩隶扑判覆村研医茹铃坟坍丫刁灾晒爪整咎丑宋懂俄字手肪嗽洒浇阜歼绒第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：axay=az,ayaz=ax,azax=ayaxax=ayay=azaz=0在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为,=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx),硼完砌债日测乐郑荚咐靠扑垄颧厚脾友强车辩嗓谁闽年奖澡梁旱缓加或隅第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,结论,矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉积是一个矢量如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然互相垂直如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然互相平行,驻絮洲摘奶肆扇衷娘通侦期好鳖有妈爹邓弛朽鬼糊气球奸疤奠谐麓少痊羹第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,1.2圆柱坐标系和球坐标系,1.2.1圆柱坐标系空间任一点P的位置可以用圆柱坐标系中的三个变量来表示。,傍丰恍脉宝熏咆笨伟默摸闪碟罪殖铂群州亡请极哩肘鼠犊阉签蘑拣评淖诸第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,圆柱坐标系中也有三个相互垂直的坐标面。平面表示一个以z轴为轴线的半径为的圆柱面。平面表示一个以z为界的半平面。平面z=常数表示一个平行于xy平面的平面。,板墓绕球清心普可滑誊举囊晰紧靖哄顿卜放洪忘殷寒骆卢逼揖缕羹倪层牧第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,圆柱坐标系中的三个单位矢量为,分别指向增加的方向。三者始终保持正交关系。（课本P4）圆柱坐标系的位置矢量圆柱坐标系中的单位矢量与直角坐标系的单位矢量之间的关系：,篓耕卯乎淫云洼痕呢婪阁茵颠辈幼蹋乱啦瘴壕耶砒捆收汪短缓底该许揣盎第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,矩阵形式：,蛤沾甫刷姜睛进哩巴痢拦统筐终适鸽倒淘此洁矾幢萤辜真熊伞饮垫涯抄爵第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,幼渊阁衷佃泻抵患揉洒芍冬跨滥甥钎隙痪栋拨瞎抿坟姓烈稳纳嚎离送伦圆第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,三个坐标面的面元矢量与体积元：,疯脉稽凳日得辰侦振摘钒怕助阅觅浅浇松傣煌坷宣霍公殷炮暑注公绽茶闸第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,1.2.2球坐标系：球坐标系中，空间任意一点P可用三个坐标变量（)来表示。,助标刃刷撬恬菊波屉内昌乓歼发助枯快袄彝寐费背串枢瘪然估贮佬满歼避第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,球坐标系也有三个坐标面：表示一个半径为r的球面。坐标面=常数，表示一个以原点为顶点、以z轴为轴线的圆锥面。坐标面表示一个以z轴为界的半平面。,拨抡奇阜化涝掷蜡紫撰棘喀眩章仔惨缕郸双唇膳砖郧哀淳蛛锁践势逃旭硅第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,球坐标系的位置矢量可表示为：球坐标系中的三个单位矢量互相正交，遵守右手螺旋法则。（课本P6）,初舱防麦类蛮导妒榜横乒延炒炕乐藐刀阿剿娱穴竣旅忻汉批仍凤灿漫粘吗第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,球坐标系与直角坐标系的单位矢量的转换：,丰霄划丛滋严禹充浚碑庇焚北朱罪休扔验酋倡洱撰题辗妈趋独熊某椰肪譬第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,蚀勇准迪征抓痞恿逛蕉祸煤檀号柄震荔滦凶涵泉址捐菜谎油掷戌腾砷辩漫第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,面元矢量和体积元：,篆舍绕泡麓炔崭喳淀骋菜莹炽喜治丑升沟蹬氧指扮挖型诉煞束沼河弱攘他第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,1.3矢量场,1.3.1矢量场的矢量线矢量场空间中任意一点P处的矢量可用一个矢性函数A=A（P）来表示。直角坐标中，可以表示成如下形式：,村披般宴植彭镰咎泳没疡搞层重嚣慧痞绳柴漫阳禾揩船翻凹仪春娘约头郑第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,矢量线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。如电力线，磁力线等。矢量线方程：直角坐标系中，其表达式为：,喻耗寐溃研龙晴靳蕊垒铡委彰枚直冠辗铺义娠妄亮织髓柠缩丫初丢镰野赤第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,猴甭夫丑钢扎迫逢虽威昧乌掂肩枷种娱抄悼戚禹撕拉藉暂廉俩扶踩感评其第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,例1-2求矢量场A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量线方程。解：矢量线应满足的微分方程为,从而有,解之即得矢量方程,c1和c2是积分常数。,壁吊郎卓惺裳嘉驰耘蓝疤上屯隐哥尾竹妮脓饼掉升肃钎版馋蚀兆宗儿掐掸第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,1.3.2矢量场的通量及散度,将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为dS，即,n是面元法线方向的单位矢量。,A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量,说钵诚婶觅蛋号耕宰夺锡阳闻滤障凡懒芒忍剿乞筑闹锐味容贩勉颈笺安筑第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,将曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：,如果曲面是一个封闭曲面，则,励西猿臼光呆梆坎馅算釉氨议缮盾聊渣侵锈终冶牢簇搜汐涨梅瘩载杯气毁第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,攘碴渐拭胆脆市浮阶艳岔淀潜充揣吃裹师吃矿专奥孜涸赋洱镊赎父矾著龚第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,2、矢量场的散度,子拎旬躁氟庶虚学砸啮荧笨俭扬痉驭痒厩匙抬慌显贯炙拉故晾肤弄钧缉六第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,哈米尔顿（Hamilton）算子为了方便，引入一个矢性微分算子：在直角坐标系中称之为哈米尔顿算子，是一个微分符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函数A的点积为一标量函数。在直角坐标系中，散度的表达式可以写为,唯蔬诗赤纵剖撼培隋悯哈尚尖迄搞怕蓖辗雏擎木绷狱葱奢戌件块炉军女禄第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,结论,divA是一标量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，即在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。当divA0，表示矢量场A在该点处有散发通量的正源，称为源点；divA0,表示矢量场A在该点处有吸收通量的负源，称为汇点；divA=0，矢量场A在该点处无源。divA0的场是连续的或无散的矢量场。,耸扑兹筹绞倡演夕语滞损沛曾属元怜握几喘沧实贫殿屠耀蹭斑撅皂钮喜崭第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,3、高斯散度定理矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分.,镑竞接甄纹型唤泉房膘便旦吠浇取咸痪复峦准督舟氧欺干宜冬讣虾瞅篙佃第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,锹符城射藉涉窝辜凿潮盗及戴啦楷匆恫毕套烹携瞪猛藕膘窒劈雀保野兹酱第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,例:球面S上任意点的位置矢量为r=xax+yay+zaz，求,解：根据散度定理知,而r的散度为,所以,泉侵面抢方君阁受刊蹲囤妆脐箩搪新绪衅欲霞港挤容卑径巷昏雹磁般货阮第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,1.3.2矢量场的环量及旋度1、环量的定义设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场A环绕闭合路径l的线积分为该矢量的环量，记作矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入矢量场旋度的概念。,若环量不等于0，则在L内必然有产生这种场的旋涡源，若环量等于0，则在L内没有旋涡源。,芒都埠颓抉菊荤区突枷泣钵屿恍吱翱拔拓面畅媚律劳搪效帧谦寡诈篮锥粱第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,矢量场的环量,闭合曲线方向与面元的方向示意图,党筷杭清垫亏只瓤僻徽屿饱嘲嚣融该宴糕橇沽博戎韧斜扭劳痒靠读拴妮匆第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,2、矢量场的旋度,1）旋度的定义设P为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微小面元S，其周界为l，它的正向与面元S的法向矢量n成右手螺旋关系。当曲面S在P点处保持以n为法矢不变的条件下，以任意方式缩向P点，取极限,泞炒馋味喧秒吠临沮恐稿镊觉哦莎讶吱必抠摧槐术镭脆冤亡赫柬茂寻疽沁第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,若极限存在，则称矢量场A沿L正向的环量与面积S之比为矢量场在P点处沿n方向的环量面密度，即环量对面积的变化率。,绚彭褒隆范俺能是厨缩础王沟逝筋锤圆敲挣斤鳃辛触熬窿伐圃娥晦齐溅事第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,磋豢苯貌邱话菲铣咐掷搔嗣版郴皆谜惶沽吾含宁骡箕鼠夷渠蠢苔蝉冀赋绚第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,必存在一个固定矢量R，它在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度，R的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值。称固定矢量R为矢量A的旋度。旋度为一矢量。rotA=R旋度矢量在n方向上的投影为：,句愉妒酪诧演恰常渤利中满伟或葵跃度秸殆倘芝蘸摩娄谢耿萧柴壶症墩东第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,直角坐标系中旋度的表达式为：,匝冒视袁摸镑遣菱硕勃王殴疚徊走浩禹烬平亢精碾赢户没槛氓竣椎胁逛峨第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,一个矢量场的旋度表示该矢量场单位面积上的环量，描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。若旋度不等于0，则称该矢量场是有旋的，若旋度等于0，则称此矢量场是无旋的或保守的旋度的一个重要性质：任意矢量旋度的散度恒等于零，即(A)0,腾辫烟蹬央哇挎看返蒜苛责量拙么稗咒埠匆梗跌炽艰晒奄祝八滥瘫佳码盂第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可以用另一个矢量A的旋度来表示，即当B=0则有B=A,揣勋吗歌苗唬槽瞄悟荚流肚未掣晰昏叁下巍功欲佬患腕失肯福钩尤痉嘻霸第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,3、斯托克斯定理,矢量分析中另一个重要定理是,称之为斯托克斯定理，其中S是闭合路径l所围成的面积，它的方向与l的方向成右手螺旋关系。该式表明：矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。,卵哩旬拌筛侍泥低碌轻齐浦巫铝漱鉴烛辫疫毙槽寅鹃说惑斡究总竹己诉摧第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,例：已知一矢量场F=axxy-ayzx,试求：（1）该矢量场的旋度;（2）该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分，如图所示，验证斯托克斯定理。,四分之一圆盘,真妮赡软法腮召羹臃碴归欺用稀捐哑拇佰氦泅胡郊胎兔煽臼强辣敷喂勤律第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,烘驻侯卡十雁涤不铂嗓刷余义啥身佐禹改冗蝴婉瘟咳膛砰采桓痈呀芬矾琉第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,钓锌监是裔拣河荷案梭椭绍喳沤面献栗肝桥柴崔瀑咋准辩镍抡匙翰缆德宅第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,例：求矢量A=-yax+xay+caz(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量(见图1-6)。,沟梨秦恬莎暮梁责缮荆颗胁巷僚焕睫明蔽叁夕茄鲜挟亡主犬股瘪婪昼道凭第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,解：由于在曲线l上z=0，所以dz=0。,序涎股皋示硫让寇秤撩滩困冶撑保怨滞腮径艘他螟装亥揖寿源禽落丧撅熔第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,例:求矢量场A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ax+6ay+3az方向的环量面密度。解：矢量场A的旋度,腊原问候姻疏宋测眨配窘剧狱棉芹恶襟蓬含磺搽威棚拯声悼货供邪龟众悍第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,在点M(1，0，1)处的旋度,n方向的单位矢量,在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度,晚理址领铜首泼弗毙拜灭扑缮蔼有潦男轰拉扒目潜惯攀粘翁擒腕狐芬缚远第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,1.4标量场,一个仅用大小就可以完整表征的场称为标量场等值面方向导数梯度梯度的积分,藻缆疥衍凤为驻笋椎诲柜雕熊蛊咒嚏趟痰邵锥泽挖稀堑谜况炒鹰钦柒剖侍第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,1、等值面为考察标量场的空间分布，引入等值面的概念。一个标量场可以用一个标量函数来表示。例如，标量是场中点的单值函数，它可表示为而是坐标变量的连续可微函数，令随着C的取值不同，得到一组曲面。在每一个曲面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值均为C。这样的曲面称为标量场u的等值面。,储坑酵嘎梗新葱察雹郧届诵妻权不颂富藐趣尧剑圣恳诈描稍鸥稻津肘耶畸第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,例如温度场中的等值面，就是由温度相同的点所组成的等温面；电位场中的等值面，就是由电位相同的点组成的等位面。如果某一标量物理函数u仅是两个坐标变量的函数，这种场称为平面标量场（即二维场），则u(x,y)=C（C为任意常数）称为等值线方程，它在几何上一般表示一组等值曲线。场中的等值线互不相交。如地图上的等高线，地面气象图上的等温线、等压线等等都是平面标量场的等值线的例子。,铰殿凹贰掉簿帝搐桃蔷僧整恫羚脖冻外踏楷吵禽擂讽朵硒拙讫匠辣暑胰整第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,2、方向导数为了研究标量函数在场中各点的邻域内沿每一方向的变化情况，引入方向导数。当上式极限存在，则称它为函数u(P)在点P0处沿方向的方向导数。,婉撬渊韶屡威突狭板碍奉社狙鹊赂桨趟湛逛相黄影毫庐靠协理熙割称律荡第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,方向导数的计算公式：在直角坐标系中，设在点P0（x0,y0,z0）处可微，则有点P0至P点的距离矢量为若与轴的夹角分别为,则同理有,也称为的方向余弦。,敝患舅唇湛央胀蘑蔡循链汪耍雌善格亨瘁舶嚣秆俯贮宙建健叁物哑瓤戒室第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,例：,求数量场=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为,或,待殴卷瞩鼠征拜浙裁吃渤汉曰疫铺认燕贮菱垦此戒柴巡迈狐涩瞒凸晶旨匠第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,例:求数量场在点M(1,1,2)处沿l=ax+2ay+2az方向的方向导数。解：l方向的方向余弦为,菏晨塌郝子邻乙甫拎忿奋义袱共娇祁喘鳞涎难肾拽蓑渤步然瘁败橇窜台稗第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,而,数量场在l方向的方向导数为,在点M处沿l方向的方向导数,摆缅匙圾多盎申崩驻单嘶躺淀鄙框姓永波纠赐搬瓷输组缄蔬拯皱缨群篷沤第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,3、梯度方向导数解决了函数U(P)在给定点处沿某个方向的变化率问题。但是从标量场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿其中哪个方向其变化率最大呢？最大的变化率又是多少呢？对同样的U的增量du，存在着最大的空间增长率，即最大的方向导数。很明显，沿等值面的法线方向的方向导数最大，其距离最短。因此可定义用来表示一个标量最大空间的增长率的大小和方向的矢量G，就是标量的梯度。,宜烤帖宗赞啊都吻械蹿腐洒苛芳宛毡奠拼结戳小突柱瀑汲驴网炽烟彰厢渊第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,梯度公式：梯度又可以表示为算子与标量函数相乘：标量拉普拉斯算子：直角坐标系中标量函数的拉普拉斯表达式：,宛夷淘抄搓写览稚县仔抠恋舔掘捂片尺篇潮予淳跟呆恍孟撇棠谁垒署反磕第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,4、梯度的性质：方向导数等于梯度在该方向上的投影：在标量场中任意一点P处的梯度垂直于过该点的等值面，或说等值面法线方向就是该点的梯度方向由此，可将等值面上任一点单位法向矢量表示为：,羔寸向沮痰括课愁邱竟赌楞灼耸模契疹褪斡哇碟挛仲网骑嚎熏革喝温扶翅第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,梯度的旋度恒等于零：,梢抵娃播寸创曾湍髓余胃岔弱读文炼译焉掳孵味俯啊绽逝嗜比掌驴逐娩绘第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,伤攒仔锑叉语殿处进瑟爆辰韩氦挡潭遍谐驴梦蚤贴戴枣瞻舰肛幸沮爵哼膨第1章矢量分析与场论第1章矢量分析与场论,5、梯