2020年4月开学摸底考高三数学（理）（新课标卷01）（原卷版）

2020年4月开学摸底考（新课标卷01）高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1已知集合，则（）ABCD2已知复数是纯虚数，则的值为（）ABCD3已知，则下列选项正确的是（）AabcBcabCcbaDbca4已知函数，则的图象大致为（）ABCD5在中，为上一点，是的中点，若，则（）ABCD6已知数列满足，若，则数列的通项（）ABCD7已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（）ABCD8已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A3B4C5D69如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C区域涂色不相同的概率为()A17B27C37D4710已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若，则以下结论正确的是A中至少有一个为正数 B中至少有一个为负数C中至多有一个为正数 D中至多有一个为负数11已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a219，则I（a）129，D（a）921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A792B693C594D49512如下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数，则_14已知随机变量服从正态分布，若，则_15已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则双曲线离心率的取值范围是_.16四面体中，底面，则四面体的外接球的表面积为_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知数列的前项和，数列满足.（）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.18（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.20（本小题满分12分）已知是抛物线上不同两点.（1）设直线与轴交于点，若两点所在的直线方程为，且直线恰好平分，求抛物线的标准方程.（2）若直线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21（本小题满分12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1