2020年高考数学复习导数研究函数单调性

高考数学复习 导数研究函数单调性基础回顾1.函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数1在某区间内f(x)0(f(x)0，解得xe1，所以函数f(x)的递增区间是(e1，)（2）已知函数f(x)xln x，则f(x)的单调递减区间是_解析因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为和.【玩转角度2】讨论含参函数单调性例2已知f(x)a(xln x)，aR.讨论f(x)的单调性解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0时，f(x).(1)当0a1，当x(0，1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)2时，00，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当0a2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递玩 转 秘 籍利用导数求函数单调区间的三种方法1当不等式f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0(或f(x)0时xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0) D(0，1)(1，)解析：记函数g(x)(x0)，则g(x)，因为当x0时，xf(x)f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减；又因为函数f(x)(xR) 是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)上单调递增，且g(1)g(1)0.当0x0，则f(x)0；当x1时，g(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1)玩 转 秘 籍利用单调性解决不等式问题(大小比较、解不等式)的基本思路利用题目条件，合理构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式答案：A题型特训1(2020江西宜春质检)已知f(x)是定义在区间(0，)上的函数，其导函数为f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则()A4f(1)f(2)Cf(1)4f(2) Df(1)2f(2)解析：因为xf(x)2f(x)，则xf(x)2f(x)0)，则g(x)0，即g(x)g(2)，故4f(1)f(2)故选B.答案：B2.(2020宁波模拟)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)1，f(0)4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然数对数的底数)的解集为()A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(0，) D(3，)解析：选A.设g(x)exf(x)ex(xR)，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，因为f(x)f(x)1，所以f(x)f(x)10，所以g(x)0，所以g(x)exf(x)ex在定义域上单调递增，因为exf(x)ex3，所以g(x)3，又因为g(0)e0f(0)e03.所以g(x)g(0)即x0，故选A.3.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有0的解集是_解析当x0时，0，(x)在(0，)上为减函数，又(2)0，在(0，)上，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2)题型四导函数图像和原函数关系例6(2020济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为abf(b)f(a)，故选C.题型特训1函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析利用导数与函数的单调性进行验证f(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0，得x2，所以f(x)的单调递增区间为(2，)2.已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，yf(x)的图象大致是()解析：选C当0x1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(0,1)上为减函数；当x1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(1，)上为增函数，因此排除A、B、D，故选C.3已知函数f(x)xsin x，xR，则f，f(1)，f的大小关系为()Aff(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)解析因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff(1)f(1)f，故选A.4已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件5若f(x)，eaf(b) Bf(a)f(b)Cf(a)1解析f(x)，当xe时，f(x)f(b)6已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于任意的x，都有f(x)sinxfBff(1)C.ffD.ff解析令g(x)，则g(x)，由已知g(x)g，即，ff.7(2020昆明调研)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即不等式的解集为x|x18已知g(x)x22aln x在1,2上是减函数，则实数a的取值范围为_解析g(x)2x，由已知得g(x)0在1,2上恒成立，可得ax2在1,2上恒成立又当x1,2时，min4.a.9设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0xg(1)0，得0，所以f(x)0；在(，0)上，当x1时，由g(x)g(1)0，得0.综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)10已知函数f(x)(k为常数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)f(x)(x0)又由题意知f(1)0，所以k1.(2)f(x)(x0)设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，所以h(x)在(0，)上单调递减由h(1)0知，当0x0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)0.综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)11(2020信阳高级中学模拟)已知函数f(x)1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2)讨论函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性解因为f(0)b1，所以过点(0，b1)，(2，2)的直线的斜率为k，而f(x)，由导数的几何意义可知，f(0)b，所以b1，所以f(x)1.则F(x)ax1，F(x)a，当a0时，F(x)0时，由F(x)0，得x0，得xln a.故当a0时，函数F(x)在R上单调递减；当a0时，函数F(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增12定义在区间(0，)上的函数yf(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，其中yf(x)为yf(x)的导函数，则()A816 B48C34 D20，x0，0，令g(x)，g(x)在(0，)上单调递增，又由2f(x)0，即4.xf(x)3f(x)0，0，令h(x)，h(x)在(0，)上单调递减，即8.综上，40在上有解，当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a，所以a的取值范围是.14对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数g(x)2x36x24，则ggg_.解析g(x)6x212x，g(x)12x12，由g(x)