卓宇文化理科数学高考预测卷二（全国卷适用）答案

理科数学参考答案与评分标准 B 第 1 页（共 6 页） 绝密启用前 秘密启用后 试卷类型：B 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学参考答案与评分标准参考答案与评分标准 卓宇文化高考命题研究中心、湘潭大学数学与计算科学学院 共同命制 一、选择题。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B B A B C D B C A A 二、填空题。 题号 13 14 15 16 答案 2 3 2 99 99 C 2 71, 71 3 4 三、解答题。 17、解 解 (1)因为 A，B，C 三镇分别有基层干部 60 人，60 人，80 人，共 200 人， 利用分层抽样的方法选 40 人， （1 分） 则 C 镇应选取 80 40 20016(人)， （2 分） 所以这 40 人中有 16 人来自 C 镇， 因为 x 100.15200.25300.3400.2500.128.5， 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户 28.5 户.（4 分） (2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出 1 人，其工作出色的概率为3 5， 显然 X 可取 0,1,2,3，且 XB 3，3 5 ，则（5 分） P(X0) 2 5 3 8 125， （6 分） P(X1)C13 3 5 1 2 5 236 125， （7 分） P(X2)C23 3 5 2 2 5 154 125， （8 分） P(X3) 3 5 327 125.（9 分） 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 125 36 125 54 125 27 125 （10 分） 所以期望 E(X)0 8 1251 36 1252 54 1253 27 125 9 5.（12 分） 18、（1）令 11 B D中点为E，BD中点为F，由长方体性质， 1111 ACBB DD面， 则 11 AC在面 11 BB DD上的射影为E， 则P点到 11 AC 距离即为PE。则PE长度与P到BD长相等。 由抛物线定义，P点轨迹为抛物线，E为焦点，BD所在直线为准线， 理科数学参考答案与评分标准 B 第 2 页（共 6 页） 则抛物线 p P的焦准距 1 1PBB，则R与E重合，即证 11 BEAC D。 由勾股定理得： 222 11 BEB EB B且 222 11 D EDDDE，又 222 BEDEBD， BEDE， 又 1111 ACBB DD面， 11 BEBB DD面， 11 ACBE， 又 11 DEACE， 11 BEAC D面。 （6 分） （2） 长方体性质， 11 BDACC A面， 则BD在面 11 ACC A上的射影为F， 则Q到BD距离为QF， 则QF长与Q到 11 AC距离相等。Q点轨迹也为抛物线，F为焦点， 11 AC所在直线为准线。 P点恰好在Q点轨迹上，故此时P点恰位于两抛物线交点处，P与G重合。 = 4 AQD ，底面ABCD为正方形，此时点Q与点C重合。 求二面角APQM的余弦值，即求二面角AGCM的余弦值。 以D为坐标原点，DA，DC，DD所在直线建立空间直角坐标系。 2 0,0A， 22 1 , 222 G ， 2,0C 0， 2 1 , 22 M 0， 11 BDACC A面，DB 为面 11 ACC A的一个法向量， =22 0DB ， ， 设面GCM的法向量为n ， 2 (,0,0) 2 MG ， 21 (0,) 22 MC ，( , , )nx y z 2 0 12 2 22 0 0,12 22 n MGxyz n MCyzn 令，则 则（， ） cosn ， 26 63 2 n n DB DB DB 下面验算：取 21 2, 22 MA ，2 110MA DB , 22 20 22 MA n 。 故二角面APQM的余弦值的大小为 6 6 （12 分） 19、（1）由已知条件，发现E为D上的点，且2ECEC D上任意一点A， 都有2ACAB. （此条件可通过建立平面直 角坐标系得到） 。 又= 3 ADC ，DADE，DAE为等边三角形 又B为DE中点，ABDE，= 6 BAE 又2ACAB， 3 BAC ， 6 EAC 上面把原图的角度都标了一遍（大致）下面在于确定点P。 理科数学参考答案与评分标准 B 第 3 页（共 6 页） sinsinsinBACBAPCAP APACAB ，两边同乘以 1 2 AP AC AB，即有 111 sinsinsin 222 AB ACBACAB APBAPAC APCAP 即： ABCABPACP SSS ，则P在线段BC上，则P与E重合。 则 3 coscos 2 PACEAC。 （6 分） （2）先做图，由弦定理 222 cos 2 bca A bc 原式等价与 3CBCACBCAAB AC 也即 22 3abbc， 222 3 cos 2 Abca 故 222222 55 553 33 abcabc。 下面按题目暗示，作CEAB，令CEx，AEy，BEz。 上式等价为 22222 55 () 33 xyxyyz 则 22 4 430404tan4tan xx yyzzyzyzyzAB yz （此步对 2 a或 2 b用余弦定理可得一样的等式） ： 2 tantan5tan tantantan 1tantan4tan B 1 ABB CABAB AB 3 2 20tan tantantan 4tan1 B ABC B ，构造 3 2 20 41 x f x x ， 22 2 20(403) 41 2 xx fx x 故 min 315 3 (x) 24 ff 故tantantanABC的最小值为 15 3 4 ，当且仅当 3 tan 2 B 时成立。 （12 分） 20、解（1） (1) xx f xeaeax 2 (1)1 xxxxx fxeaeaeaea e 1 xxx fxeaee 【1】若0a ， f x极小值点为1x ， f x无极大值点； 【2】若0a ，1o当0ae， f x极大值点为lnxa， f x极小值点为1x ； 2o当ae， f x无极值点； 理科数学参考答案与评分标准 B 第 4 页（共 6 页） 3o当ae， f x极大值点为1x ， f x极小值点为lnxa。 （5 分） （2） 1 () a RHSea 当01a时， 1 0 a ea ，0LHS ，故0。 那么我们对两边去平方，即证 1 () a fxea 但我们希望有 f xf x，由（1）知，当01a时，lnxa，1x 都为其极值点。 又ln10 xaa f x在1,0a单调递减，在0,单调递增。 min 010f xfa ， 原不等式有解 1 min () a f xea 则 2 1 1() a aea ，(0,1)a 我们先压缩区间，令0a ，则1 e ，则e。 下面讨论e的情形：即证 2 (1)0 a eeaa。 构造 2 ( )(1) a g aeeaa，( )2(1) a g aeae，(1)0 g ，(0)30ge ， ( )2 a g ae。故( )g a在(0,ln2)单调递减，在(ln2,1)单调递增 故在0,1( )g a则( )g x先增后减，( )min(0), (1)0g xgg，证毕。 则构造 12 ( )()(1) a heaa ， 1 ( )()0 a hea ，则( )h 单调递增。 故( )( )( )0hh eg a。 故综上所述，( ,)ee。 （12 分） 21、解： （1）（1） 0 L经过一次分割后，增加了相邻两点的重点，即增加了 2 个点，此时曲线上共有 5 个 点，经过一次平均后，作出了这 5 个相邻两点的重点，即 4 个点，连结这 4 个点得到 0 L经过一次细 分后得到的曲线 1 L，即 1 4a 。 同理可的 2 6a 。 （3 分） （2） 若 0 L经过n次的分割后得到的曲线 0 L由 n a个点足称， 则再一次分割， 增加了相邻两点的中点， 即增加了1 n a 个点，此时曲线上共有21 n a 个点，经过一次平均后，作出了21 n a 个点相邻两点 的重点，即22 n a 个点，连结这些点得到的 0 L经过1n次细分后得到曲线，即 1 22 nn aa 。 由此可得： 理科数学参考答案与评分标准 B 第 5 页（共 6 页） 1 1 22 4 nn aa a 故 1 22(2) nn aa ， 即2 n a 是首项为 1 2a ，公为比 2 的等比数列， 故 1 1 2(2) 22 nn n aa 。 故22n n a 。 （6 分） （3）折线段 n L的所对应的点列： 12 22 , n nnn PPP ， 经过一次分割后，增加了21 n 个点。 1122 2122 , nn nnn PQ PQQP ， 其中 1 2 nn kk k PP Q ，1,21 n k ，。 经过一次平均后，得到新点列 1 111 12 22 , n nnn PPP ， 其中 ( /2 1)/2 1 (1)/21 /2 2 2 n kk n k n kk QP k P PQ k 当 为偶数 当 为奇数 将 1 2 nn kk k PP Q 代入上式可得， 其中， ( /2)( /2 1) 1 (1)/2(3)/2 3 2 3 2 nn kk n k nn kk PP k P PP k 当 为偶数 当 为奇数 1 1,222 n k ， ，（12 分） 22、 （1）()(1)(1)(1)0pqpqpqpqxpqypqpq是一个直线的 方程。故只需证明,P Q两点在这条直线上即可。 利 用 参 数 方 程 ， 可 知,P Q的 坐 标 满 足p，q， 故 ()()0pqpqqpq满足方程，因此,P Q两点在直线上。 （5 分） 理科数学参考答案与评分标准 B 第 6 页（共 6 页） （2）由 ff xx，可得da ，令( )qf p，则只需证无论p取何值，直线PQ都过 一定点。 考 虑 直 线:( )( )0PQ pf ppf p， 将( ) apb f p cpa 代 入 ， 得 2( )()()0(*)p acp bcab 取0p ，直线PQ为 1: 0lab，取p ，直线PQ为 2: 0lac，下面我们证明 无论p取何值，直线PQ总过 1 l和 2