《线性代数期末复习》吕代数ch

5.2相似矩阵,若有可逆矩阵,使得,注,相似关系是一种等价关系,即满足:,(1)反身性;(2)对称性;(3)传递性.,相似矩阵的定义和简单性质,1定义,设AB,则,（1）有相同的行列式；,证,（2）有相同的秩；,（3）有相同的特征值；,由,可得,由,可得,证,由,可得,证,2简单性质,(4)kAkB,AmBm,f(A)f(B),ATBT,A*B*,A-1B-1,因A与B相似，,即有可逆矩阵P，,证,显然,P-1(kA)P=kB,即kAkB.,矩阵乘法满足结合律,即AmBm.,由kAkB,AmBm,可得f(A)f(B).,由(P-1AP)T=BT,(P-1AP)*=B*,(P-1AP)-1=B-1,可得PTAT(PT)-1=BT,P*A*(P*)-1=B*,P-1A-1P=B-1.,即ATBT,A*B*,A-1B-1.,则A的n个特征值为,又A,也就是A的n个特征值.,例,即x=-17，y=-12.,若方阵A能与一个对角阵相似,则称A可相似对角化.,矩阵的相似对角化,1定义,即存在可逆矩阵P，,则有,即,故,使得,两边左乘P:,将P按列分块,设n阶方阵A可相似对角化，,分析,设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量,即,令,则,所以,反之,n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.,定理,推论1,推论2,若n阶方阵A的n个特征值互不相等,则A可相似对角化.,n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A的所有特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相等.,即若i是A的重特征值，则A可相似对角化的充要条件是,i的重数ki=对应的线性无关特征向量的个数=线性方程组(A-iE)x=0的基础解系所含解向量的个数=n-R(A-iE).,(2)可逆矩阵P的列向量为A的n个线性无关的特征向量.,特别注意:P的列向量的排列顺序必须与对角阵对角线元素的排列顺序一致！,注意,方阵A相似对角化的步骤:,(2)对每个特征值,求线性方程组(A-E)x=0的基础解系,进而求得A的所有线性无关的特征向量;,(3)若A的所有线性无关特征向量的个数小于n,则不能对角化;若等于n个,不妨设为x1,x2,xn,令P=(x1,x2,xn),则,(1)求解|A-E|=0,求得A的特征值,解|A-E|=,所以3阶方阵A有三个不同的特征值1，2，3.,当=1时，解方程组(A-E)=0，,所以(A-E)x=0的基础解系,即对应于=1的线性无关的特征向量x1=(0,1,2)T.,当=3时,解方程组(A-3E)=0，,当=2时,解方程组(A-2E)=0，,所以方程组(A-2E)=0的基础解系,即对应于=2的线性无关的特征向量=(1,0,1)T.,所以方程组(A-3E)=0的基础解系,即对应于=3的线性无关的特征向量=(0,1,0)T.,且P-1AP=.,反求矩阵,已知特征值和特征向量，利用相似对角化，反求矩阵.,相似对角化的应用,例,解,令,应用1,则有,进而，,设A为n阶方阵.如果A与对角矩阵B相似，即存在可逆矩阵P，,进而有，,求矩阵的方幂,应用2,由,容易求得,所以矩阵A共有3个线性无关的特征向量.,从而,属于