高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和课件文北师大版.ppt

6.3等比数列及其前n项和,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,1.等比数列(1)等比数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.数学语言表达式:=q(n2),q为常数.(2)等比中项如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,我们称G为a与b的等比中项,即G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2=abG=.(3)等比数列的通项公式an=a1qn-1;可推广为an=amqn-m.,-3-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,(4)等比数列的前n项和公式,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,1,2.等比数列及其前n项和的性质(1)若k+l=m+n(k,l,m,nN+),则akal=aman;若m+n=2k,则aman=.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm.,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,1,当q1,则a3=.,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列的首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值.2.在等比数列中,由an+1=qan,q0,并不能立即判断an为等比数列,还要验证a10;若aman=apaq,则m+n=p+q不一定成立,因为常数列也是等比数列,但若m+n=p+q,则有3.在运用等比数列的前n项和公式时,如果不能确定q与1的关系,必须分q=1和q1两种情况讨论.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于()(2)(2016银川一中一模)在等比数列an中,若a1=,a4=3,则该数列前五项的积为()A.3B.3C.1D.1(3)在等比数列an中,a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,则n=.思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?,答案,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,(3)a3+a6=q(a2+a5),q=a2+a5=18,a1q+a1q4=18.a1=32.an=a1qn-1=1,解得n=6.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求基本量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)(2016陕西汉中市质检二)已知an为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于()A.189B.72C.60D.33(2)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,答案,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:(1)4a1,2a2,a3成等差数列,4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,q2-4q+4=0.q=2.a3+a5=a1(q2+q4)=3(4+16)=60.(2)设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.证明数列an是等比数列常用的方法(2)等比中项法,证明=an-1an+1;(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2在数列an中,Sn为数列an的前n项和,且Sn=1+kan(k0,且k1).(1)求通项公式an;,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向一等比数列性质的应用例3(1)(2016山西晋城高三期末)在由正数组成的等比数列an中,若a3a4a5=3,则sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值为()(2)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?,答案,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向二等比数列前n项和的性质的应用例4设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.64思考本题应用什么性质求解比较简便?,答案,解析,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.对已知等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)(2016安徽“江南十校”联考)已知在各项均为正数的等比数列an中,a5a6=4,则数列log2an的前10项和为()A.5B.6C.10D.12(2)已知等比数列an的首项a1=-1,其前n项和为Sn,若,则公比q=.,答案,解析,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5(2016天津,文18)已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)的前2n项和.思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,解(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.,-32-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.,-33-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.判定等比数列的方法(1)定义法:(q是不为零的常数,nN*)an是等比数列.(2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,nN*)an是等比数列.(3)等比中项法:=anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比数列.,-34-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.求解等比数列问题常用的数学思想(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.,1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.2.求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.,-35-,审题答题指导如何理解条件和转化条件典例在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN*,将数列an中落入区间(9m,92m)内的项数记为bm,求数列bm的前m项和Sm.审题要点(1)题干中已知条件有三个:“数列an是等差数列”和两个等式;(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列an的各项在所给区间的项数为bm;(3)第(2)问中条件的转化方法:文字语言转化为符号语言,即求满足9man92m的n的范