第四章机械振动

第二篇,振动与波,研究机械振动和机械波的基本规律。,包括振动、波动两大部分。,第四章机械振动,4-1简谐振动的动力学特征,4-2简谐振动的运动学,4-3简谐振动的能量,4-4振动的合成,（主要讨论简谐振动和振动的合成）,4-1简谐振动的动力学特征,简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡,位置的位移x（或角位移）随时间t按余,弦（或正弦）规律变化的振动。,一、弹簧振子模型,弹簧振子：弹簧物体系统,物体可看作质点,轻弹簧质量忽略不计,平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置,简谐振动微分方程,结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。,当时,二、微振动的简谐近似,摆球对C点的力矩,角频率,振动的周期分别为：,4-2简谐振动的运动学,其通解为：,一、简谐振动的运动学方程,简谐振动的微分方程,简谐振动的运动学方程,二、描述简谐振动的特征量,1、振幅A,简谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。,初始条件,频率：单位时间内振动的次数。,2、周期、频率、圆频率,对弹簧振子：,角频率：,固有周期、固有频率、固有角频率,周期T：物体完成一次全振动所需时间。,单摆,3、位相和初位相,位相，决定谐振动物体的运动状态,是t=0时刻的位相初位相,t=0时,位相差：两振动位相之差。,当=2k，k=0,1,2；,当=(2k+1),k=0,1,2.,2超前于1或1滞后于2,位相差反映了两个振动不同程度的参差错落,两振动步调相同,称同相,两振动步调相反,称反相,简谐振动的运动方程：,简谐振动的速度方程：,简谐振动加速度方程：,三、简谐振动的旋转矢量表示法,1、简谐振动的运动学特征,简谐振动的位移、速度及加速度曲线,v,a,v,a,x,简谐振动的位移、速度及加速度随时间周期性变化。,2、简谐振动和匀速圆周运动的联系,可见：,作匀速圆周运动的质点在过圆心的,某一方向上投影的运动为简谐振动。,3、简谐振动的旋转矢量法,作一参考圆，如图：,位矢与x轴的夹角为,谐振动的位相，在t=0,时的夹角为初位相。,4、用旋转矢量法确定简谐振动的初位相,4、用旋转矢量法确定简谐振动的初位相,*用旋转矢量法确定简谐振动的初位相的原则：,由初始条件、确定旋转矢量所在位置，,旋转矢量和轴的夹角即为初位相。,或,例一沿竖直方向作简谐振动的振子，,过平衡位置向正方向运动；,过处向x轴负方向运动；,以下两种情况的初位相,（设竖直向下为正方向）,求当t=0时,过处向x轴负方向运动；,例一远洋轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积,为S，设在水面附近轮船的水平截面积近似相等。设,水的密度为，且不计水的粘滞阻力，证明轮船在水,中作振幅较小的竖直自由运动是简谐振动，并求振动,周期。,解：船静浮于水面时，其重量等于浮力，此时的水面,若竖直向下为正方向。当船体向下产生一位移x时，,即为系统的平衡位置。把坐标原点取在平衡位置上，,衡位置。即：,其重力不变，合外力为浮力的增量，方向向上指向平,式中Sx为船体下沉时的体积，负号表示浮力增量与,令：,船体位移始终反向。,可见，船体竖直方向的运动为简谐振动。,其振动的周期为：,例水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高,不计水的阻力。,表面与水面平齐。,现用外力将木块压入水中，使木快上,表面与水面平齐。,现用外力将木块压入水中，使木快上,求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。,任意位置木块受到的合外力为：,合外力和位移成正比,方向和位移相反,木块作谐振动。,平衡时：,由上面得到：,由牛顿定律,4-3简谐振动的能量,以弹簧振子为例,谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数,动能,势能,情况同动能。,机械能,简谐振动系统机械能守恒,4-4振动的合成,一、同方向、同频率谐振动的合成,合振动是简谐振动,其频率仍为,质点同时参与同方向同频率的谐振动:,合振动:,如A1=A2,则A=0,两分振动相互加强,两分振动相互减弱,分析,若两分振动同相：,若两分振动反相:,合振动不是简谐振动,随t