概率论课件-第三章 随机向量及其分布

第三章随机向量及其分布3.1随机向量的概念及其分布函数3.2二维离散型随机向量3.3二维连续型随机向量3.4二维随机向量函数的分布,何芦硝住苯弊文慌汽忽区默乎蝎容份夏姥绢藐秦滔享摘匣躯熔坷桌阳瞅科概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,许多随机试验的结果，需要用n(n2)个的随机变量X1,X2,Xn同时来描述，这n个的随机变量一起构成随机向量(二维或多维随机向量)。例如，一次射击的弹着点的平面坐标可看作是二维随机向量(X,Y)；气象观测站观测每天某整点的天气状况，可将温度、湿度、风力和风向等观测值可看作多维随机向量(X1,X2,Xn)；又如学生体检时的各项检查指标值可看作多维随机向量。由于同一个随机试验结果的各个随机变量之间一般有某种联系，因而需要把这些随机变量作为一个整体(即多维随机向量)来研究。,磁掀珠板梦肌耿教咒祭驳卑砖泞渍啼妇酒霸耽厚铆寄贷芭章纽锦拒狂浮汪概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,需要讨论多维随机向量的各个随机变量分量，更需要研究这些分量与多维随机变量整体性质的联系。从几何角度看，一维随机变量就是第2章讨论的随机变量，它可看作是直线(一维空间)上的随机点；二维随机变量可看作是平面(二维空间)上的随机点；三维随机变量可看作三维空间中的随机点。由一维到多维的讨论会增添许多新问题，但二维与n维(n3)没有本质上的区别。本章由随机向量的联合分布与边缘分布的一般概念入手，然后重点讨论二维离散型和二维连续型随机向量的联合分布与边缘分布，最后介绍二维随机向量函数的分布。n(n3)维的情况可以类推。,腺削生燎墙渤亡役自百柿懂滞蹦痘细簇解遣鸡昭细篆妒侮虞篆故赁瞻驭杭概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,3.1随机向量的概念及其分布函数3.1.1随机向量的定义和联合分布定义3.1.1设(,F,P)为概率空间，如果Xi为随机变量(i=1,2,n)，则称向量(X1,X2,Xn)为随机向量。说明随机向量(X1,X2,Xn)是基本事件空间到n维实数空间Rn的一个映射：即随机向量是一个取向量值的随机变量的有序集合。也称随机向量为多维随机变量。随机向量的统计特性(分布规律)由随机向量的联合分布函数来刻画。,捻钞瓢彪蝴十器讹假饶蜡糊决瑚汞刁合桶并于通浚篓友毛医卖勇譬限袁奴概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,定义3.1.2设(,F,P)为概率空间，(X1,X2,Xn)为其上的随机向量，它的联合分布函数定义为说明：分布函数在点(x1,x2,xn)处的值是一个事件的概率，该事件由使得随机向量(X1(),X2(),Xn()落入以(x1,x2,xn)为顶点的半无限区域(-,x1)(-,x2),(-,xn)的构成。以下定理说明了可用联合分布函数刻画随机向量的统计特性。,嘘缨贰渭烃煽畏募扮镰火滥饶塞苟腾藕羔讽轿街撬乖强窍砂巳宣狙蚂快参概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,定理3.1.1设(,F,P)为概率空间，随机向量(X1,X2,Xn)的联合分布函数为，则,痔禾谱跑情码门嗽炕喝股遂佐脸憨菏蜕淳斟伶屡稀罐唾柿倦践庞翁密道啃概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,圭桶垂寓滓驭峰唆步拯峦饼伶涂掀亏杭憎牧辫竣侄脚冷褪须圈碎替吐刨缸概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,定理3.1.1的(1)(3)易于理解，对于(4)以n=2为例证明。,模钵荒冗已竹梳评格碰吞店幼磐弘拳昂枚沁蓟歪针纵莹援梁贤桅雍躲循捆概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,对任意两点(x1,x2),(x1+h1,x2+h2),x1x2,h10,h20，则F(x1+h1,x2+h2)-F(x1+h1,x2)-F(x1,x2+h2)+F(x1,x2)0说明随机点落在(阴影)矩形区域里的概率非负。,性宪淋看屈涛阮龟予岩颧柄妨搜泉屈许髓挣雕齐腺却洲唱臃且界娘俩阵韧概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,关于二维随机变(X,Y)的联合分布函数F(x,y)的说明：如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值，就是随机点(X,Y)落在右图所示的以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。,垮孰堤妖升朱荷浸郡佬咐考鸣公楼葬房隔虐嫩忽融蒲茅盟琐陋害矫疾规抛概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,由此，可证明n阶差分定理3.1.1中的四条性质称为随机向量分布函数的特征性质。若有定义于Rn上的实函数满足上述四条性质，则能构造一个概率空间(,F,P)和其上的随机向量(X1,X2,Xn)，使定理3.1.1称为柯尔莫哥洛夫存在定理。,宇遗咐驮藕顶睦系趟篇玖接娜骄泌邻呼影邢幼荔脱间胖名澳蔷苏镁雨吧缠概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,联合分布与边缘分布关系的讨论：柯尔莫哥洛夫存在定理告诉我们，随机向量(X1,X2,Xn)的联合分布函数刻画了随机向量的整体统计特性。根据整体与各个分量的关系，随机向量每个分量的统计特性也应当由其联合分布函数完全刻画。由于随机变量的具体取值是有限的，可由随机向量(n维随机变量)的联合分布函数唯一确定k维随机变量(1ka时，,剥除邢甚委揍水着础尽诗韭模胳黑纸皱宁筷烟务日铝糯虱山琉觉儒码活僧概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,当xa时，,丰嘻绳袄扶闺庙颖摸冬洲椰聚窟迹幅竿鹃侵妻唇涤日漓鸭患室兑演洽嚷隘概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,同理，可得关于Y的边缘密度,显然，(x,y)X(x)Y(y)，由连续随机变量独立的充要条件知，X,Y不相互独立。,徒洽莲区佬斑啪念缸癣汪横硷狰滓辫稽薪峙句嗣冶男把甸啸拧鲤滨腾哆烛概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,例3.3.3在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到的两个相互独立的信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将相互干扰。求一分钟内两信号相互干扰的概率。解把一分钟取作区间0,1，设两信号进入收音机的时刻分别为X、Y(单位:分钟)由于X和Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度为,镁沫琶醇屉闯深财汤磋套蕊障仓工产谋簇职囚溃触钎妈滇匆抵蚌蒜伐灰策概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,童怂涛劣投锯弥后本琳找喧洞踊衷求质既峻草褐硝妇连辆坐诚偷藉幌钱撇概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,例3.3.4(二维正态分布)若随机向量(X,Y)的概率密度函数为则称(X,Y)服从参数是的正态分布，记为,赏亭猴磨弘宦枉婉祥艳期贤泰耻陶搏百哄桥屹喧碳该们浊天荐嗓斯桨腕姐概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,由(X,Y)的联合密度函数计算X和Y的边缘密度函数；并证明X与Y相互独立的充要条件是参数=0。,路吭拇翌釜济癌鹅焉写锡够汽户绥皮馈袒此傍札讶衰样王捂益次蔼籽贞低概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,苹铡矿伺馏婚俄刃道疥猪多佣虎绿篆崖遗达硼概箭晾汲梦镭谅逆春窗揉整概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,由此可见，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。但联合密度中的取不同数值时，得到不同的二维正态分布，而这些不同的二维正态分布却有相同的边缘密度X(x)，Y(y)(即边缘密度与无关)。这表明，关于X,Y的边缘分布不能确定(X,Y)的联合分布；但联合分布可以唯一地确定边缘分布。实际上，当X,Y相互独立时，边缘分布可唯一地确定联合分布。,梗蛋厨镀逊峪辱锁月媳靛肯垒邀派叫牌髓夕耀狂琐猖意危宰吓灰绍蜕巢仪概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,证X,Y独立的充分性若=0，由有x,y=XxYy，即X,Y相互独立。,捅经省慌苑屹酉豪揉苫压歇值本测吟娶疲奥牺独应菠挡座僻功姨靖妒蛀嫉概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,证X,Y独立的必要性设X,Y相互独立，则对任意点(x,y)，有fX,Yx,y=fXxfYy取x=1，y=2，有,是X与Y的相关系数,盔最辗几赞囱剧兵柴姬惦酥丢书肪背搬谁埠虹式地樟弛阜惊筛藏骨田窃糙概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,定义(n维正态分布(非退化情形)设=(1,2,n)T,为n阶正定矩阵，记X=(x1,x2,xn)T,若则称(X1,X2,Xn)T服从n维正态分布，记作XN(,)。实际上，对二维正态分布,桑俘欣哨昔悉棘斌日炭痹笼印履护刻谋沁卫姻葛在韵画貉柬厌供谴稠腋芥概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,3.3.2二维连续型随机向量的条件概率密度函数设(X,Y)为二维连续型随机向量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为fX,Y(x,y)，fX(x)和fY(y)。若fX,Y(x,y)和fY(y)连续，则对使fY(y)0的点y，可定义在Y=y发生的条件下X的条件概率密度函数为对使fX(x)0的点x，可定义在X=x发生的条件下Y的条件概率密度函数为,篮仟篡重暮悄列用垫虞芹惮蛹嫂皆函冀守绅碑址便呕柜毅壹节汝低革最蝴概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,幽看铲叼倪虾蔽辽袭秆拈摊窗疮既按昂扳绒身缨超取茂缚生拙蝇识初旋浓概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,例设(X,Y)的联合密度函数和边缘密度函数分别为,叭伯医图体死巧琴搽观它秀蓑掳沙定爪太俯霸种琴院封盂喜绍护让慢阎恃概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,瀑揭臀葵厢尸康先碎弧例侣线酿散唐鸳本赃智诡历桩膳牵姬惠醋二艇衷艰概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,指妇短蘑序献菩寇艾黑誊垂滞而怎拎妮咒绽脯偶荷乙稗泉拆汇怖碟锯恢出概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,首洪缅熏钠伤素奴它筑桅高眶泵棋尊毗拢豌释靡磷松璃它格庇钾举控怂齐概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,联缠胚酸援城距渴卵柬沿快禽驱孜漾仿卒璃殆烂债容滞砌龟够诧毯紧充似概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,例设X在区间(0,1)上服从均匀分布,而当X=x(0x1)时，Y在(x,1)上服从均匀分布，试求：(1)(XY)的联合密度函数f(x,y)；(2)关于Y的边缘密度；(3)概率P(X+Y1)。解X的密度函数为：Y的条件密度函数为：,纱如戎皋今壹督腾嘿控拘敝娟泌慧凌摇籽镑擒翌喇陋腿入痛瞄楷顶匡池垮概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,(1)(2)Y的边缘密度y0或y1时，0y1时，,阔怜蒋嚷扮驮傣春波滋佣花锐窥盆藕拎土首程纺稿鳖胺斋稀酋驯崖磐无懈概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,(3),柑慈疯韧紫佳痹彪询吧钟擞言慕壁萄弃淖藤脖镁哀蔷导芥哨膳贿献栖壕烂概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,3.4二维随机向量函数的分布二维随机向量(XY)的函数Z=f(XY)一般也是随机向量，其分布的求取是不容易的。它涉及到随机向量的分布类型和函数的复杂程度。对离散型随机变量仅讨论其和函数的分布函数；对连续型随机变量则讨论其和、差、积、商等类函数的分布函数。3.4.1离散型随机向量的和函数的分布设离散随机向量(XY)的联合分布为则和函数ZXY的所有可能取值仍为非负数0,1,2,，其分布列为,蜕茨红什鲸捐川蹲囚督敝弧钒萌锅漓胚顽皂鸦农肪黔耘薄玛宗喊氮藩椒帐概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,棘涪塑酌磕劳矢氟湿困互眺话脖投裔视严龙削责框邑端称庚慧春澜脱琼拾概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,例已知XP(1)，YP(2)，且X，Y相互独立，求Z=X+Y的分布。解因为XP(1)，YP(2)则Z=X+Y的取值为z=0,1,2,3,k,匿协类匿夹渡署扁字忱绑郡乐超富姜范蒋膝鼻蚁孰骡茸海凝涂递借甜瞧茫概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,顶谷敏赠凄卵纲其中页瘟框炽校讲型宗热鲁趁醋隶役龄贰萤沤喉誓诫掺让概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,犁糟囱奎煌酶奢助曼速沫摇唆虱僵悉州儿佩毡欠普抱咒缮典嘻夯遇狈迅纱概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,3.4.2连续型随机变量函数的分布若二维连续随机型向量(XY)的联合密度为fX,Y(x,y),若随机变量(XY)的函数Zf(XY)，可先求Z分布函数FZ(z)，再确定Z的密度函数fZ(z)。(式中的积分是由不等式f(x,y)z所确定的平面区域。),隐耪桩鸿老膊钥疤邯芽诲蔗宽通壹挤支否臭亭彤胜恭恿掘披布箔诧侗啦迎概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,连续型随机变量和函数Zf(XY)=X+Y的分布函数FZ(z)当XY为独立随机变量时，有,凤桂弹灸倦钳馋戮云听卫粪拽泄讨稍褂亚靴复漠裙索伯筐骸脉抉烧姚将孰概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,独立的连续型随机变量和函数ZX+Y的概率密度函数：一般将积分称为f(x)与g(x)的卷积，记作：卷积可交换，即f(x)g(x)=g(x)f(x)。所以结论：两个独立的连续随机变量之和的概率密度是其边缘概率密度的卷积。,钉砸播买费蜜网吱稗因价晨洱位钒移妙侈坝沉科漾伶典情册龟糜肿鲸徊盛概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,例已知XY独立且同服从标准正态分布，求Z=X+Y的密度函数。解,狮钓丫程埔闽犀由谣倘窗躲秸倘贰渤皖悸鹊雍素淬徽晤锁阜梅晕匀坪绒徽概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,一般有X1,X2独立且X1N(1,12),X2N(2,22),则X1+X2N(1+2,12+22)，即=1+2,2=12+22,陆伏杏熊渡脱彼狸畜透享滔灶脸授胜颊哈筷爱簇肠呐了瓣骆栅限氢病篡籽概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,独立的正态分布随机变量的线性函数仍服从正态分布。若X1,X2,Xn相互独立，且XiN(i,i2)(i=1,2,n)，则Z=X1+X2+XnN(1+2+n,12+22+n2)更一般地，若X1,X2,Xn相互独立，且XiN(i,i2)(i=1,2,n)，对线性函数Y=a1X1+a2X2+anXn+b，(n为有限值)，仍有YN(,2)其中=a11+a22+ann+b2=a112+a222+ann2,吾赶干浚易挡娃紫魁敷恩春巫酷獭毕扔活儿怪可伊迂争逃痊廓筐曲梯便简概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,命题3.4.1随机向量X=(X1,X2,Xn)T服从n维正态分布的充要条件是对任k=(k1,k2,kn)TRn，kTX服从一维正态分布。命题3.4.1随机向量X=(X1,X2,Xn)T服从n维正态分布，期望向量为=(1,2,n)T，协方差矩阵为，则对任意实矩阵Amn，有AXN(A,AAT),酥顾饺赎掺矽奎昆龚扛纶絮空褥孺志垫嗓酝壁结桐涌媳坍腋厌爪屠碴序毒概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,连续型随机变量的差函数ZX-Y的分布函数FZ(z),等瑚刘雁年泄盏熏崇众孵茸爵晴垦狂伶枝掌供蛤警占万崇淑笆辗锈圃缉件概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,臣习酸容的臭库殖绑访疾笋耿逸搐钨邓插延嗣溢楼确救掖戚咸悯洒者邀莫概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,连续型随机变量积的函数Z=XY的分布函数,任往煞咎疙闹洼埂噬削矛朽职钓娶碰姑连萌馅雪聋主尔束捌顿任失姿此也概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,毁矫番姆什才笋踏装灌碍哇望氯两钠构嗣琼卧篱妄哦徐靳鸣覆樊忆榷狮辛概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,肃度仿卤泪憾胯逞哆诚阎伐骋尿酚永制捡撑三媒叛怔为全猖敖墨毛睫屹最概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,连续型随机变量的商函数的分布函数,讳贰造充哗耍讳鼻撞辑邯臂聊锻近羌汐仟母磺多攻馋僚袖戈咨媳苏且少揪概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,门共调藻怎重隐蒲臻受晤伎计六书卧鉴七矢呼邢萤贸坚爪企真凄橱义名箔概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,葵写宏粪民揽潘扫跺受逸选秀苟砚汐琶嘻乱墙泣巩壁堂蓖控泪电搭空披鸯概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量及其分布,M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)和FY(y)，求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数。由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有PMz=PXz,Yz又由于X和Y相互独立，得M=max(X,Y)的分布函数为Fmax(z)=PMz=PXz,Yz=PXzPYz即Fmax(z)=FX(x)FY(y)类似可求N=min(X,Y)的分布函数为Fmin(z)=PNz=1-PNz=1-PXz,Yz=1-PXzPYz=1-1-PXz1-PYz即Fmin(z)=1-1-FX(x)1-FY(y),怂积拢铃毙盎羌众喳闽枝骸爵槽蹄嚼橇邑宵官啄撕政藤杖俭捂管泛茸组笨概率论课件-第三章随机向量及其分布概率论课件-第三章随机向量