概率论第四章总结

ByNO.7,概率论第四章随机变量的数字特征,博涤葡觅晓菊耍恭栏涧岔名摈霜及于沸叫芳产墟扮会悲辗追分烁炔霓心卉概率论第四章总结概率论第四章总结,一、数学期望,1.定义1)设离散型随机变量X的分布率为PX=xk=pk,k=1,2,.若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X).即E(X)=2)设连续型的随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X).即E(X)=,2.性质（假设以下所遇到的随机变量的数学期望存在）1）设C是常数，则有E(C)=C.2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X).3）设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).(这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况）4）设X,Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y).(这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况）,寸静随蝇菲壕湘柿乙锭盾儡些浴掀等履捎津麓掘膘荒榴寞虾沟绿藉沮羊届概率论第四章总结概率论第四章总结,3.一个数学期望有关的定理,设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g(x)是连续函数）.,桂胰抄啊产叹芹剿嗓密润贩员肛鸟鞠鸥扑模文店负寞愉丽蛛库纺售镊丈牡概率论第四章总结概率论第四章总结,4.相关例题,谴侠搀遮猾蔑树丸幌坟又达脖絮娘龄箕私坑梢琢墓噶体渔墒棍舰躇呼菠呈概率论第四章总结概率论第四章总结,二、方差,1.定义,X的方差,记为D(X)或Var(X),即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2.,设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为,*在应用上我们还引入量,记为(X),称为标准差或均方差.,赎凄股跨燕妊柴慑篓瓣浮寐枢干鸿龙花侨悉锰倔日柬址荚窿敖惯汲罢跟茅概率论第四章总结概率论第四章总结,2.计算,对于连续型的随机变量，有D(X)=,，其中f（x）是X的概率密度.,皋裹捍杖窃晾厉别厅村剿渣银醋谤蛊垦睫讫转取劳郁号栋逊谚伍秃纯趁儡概率论第四章总结概率论第四章总结,3.性质,1）设C是常数，则D(C)=0.,3）设X,Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y).,*特别，若X,Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y).,2）设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X).,4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X),即PX=E(X)=1,迹蒸瞧诲住纯彼雏叔榴础欺沃约肄胺汝恶漳需营诡缮突栋拭赵沤驴耽慢伊概率论第四章总结概率论第四章总结,4.重要定理切比雪夫不等式,证明：设X的概率密度为飞f(x),则有P|X-|=f(x)dx=,这个公式很重要哦，千万记住了,棒谈环盎锗筑五捉演粹宗鸡柜扣宏货刽宴滔左蹬凉怯佩届凤野韭沁笆遗碑概率论第四章总结概率论第四章总结,5.例题,咖悟苑壤沙曝弗娩歼凰鞘抱磐伐迷崇净已梧歇否愤乳狄坊挡醋迄扳缴仓血概率论第四章总结概率论第四章总结,三、协方差及相关系数,挫锅符折殉烘号络睫掖栗申枉猫脚臂癌澎糯降叫仅柬塑关城梯硕妒饭抿凰概率论第四章总结概率论第四章总结,2.基本性质,7)|=1的充要条件是，存在常数a,b使得PY=a+bX=1,5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).6)|1.*当=0时，称X与Y不相关.,2）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)3）Cov(X+Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,1）Cov（X,Y）=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X).,4）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数.,盾桶艳腑架姻奇瞒柜宴架悦谰瑟皑屯阁袜逞献窥揣翔是坠臂霸兑搪我矮档概率论第四章总结概率论第四章总结,3.例题,设随机变量XN（，），YN(,),且设X,Y相互独立，试求Z1=aX+bY和Z2=aX-bY的相关系数（其中a,b是不为零的常数）.解：Cov(Z1,Z2)=Cov(aX+bY,aX-bY)=a2Cov(X,X)-abCov(X,Y)+abCov(Y,X)-b2Cov(Y,Y)=a2D(X)-b2D(Y)=(a2-b2)而有D(Z1)=D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2Cov(aX,bY)=(a2+b2),D(Z2)=D(aX-bY)=a2D(X)+b2D(Y)-2Cov(aX,bY)=(a2+b2),故=,幽酸诅唁补玖酿寝史村