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第三节方阵的行列式与逆矩阵,一、方阵的行列式二、逆矩阵三、小结思考题,回章目录,一、方阵的行列式,定义,由阶方阵的各元素按原位置排列构成的,行列式，叫做方阵的行列式，记作或,运算性质,为阶方阵,为数。,回章目录,二、逆矩阵,在数的运算中，当数时，有,其中为的倒数，在矩阵的乘法运算中，也有,类似情形(单位阵相当于数的乘法运算中的1)。,定义8,对于阶矩阵，如果存在阶矩阵,使得,则称为可逆矩阵，是的逆方阵。,注:,(1)可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵。,(2)可逆矩阵必为方阵。,(3)若是的逆矩阵,则也是的逆矩阵。,定理1：,，,证：,则,即逆方阵唯一。,注：,(1)的逆方阵记为.,(2),定理2:,证：,故,若方阵可逆，则其逆矩阵必唯一。,定义9,余子式,称方阵,注:,为方阵的伴随方阵。,因为,定理3:,定理3提供了一种利用伴随方阵求逆方阵的方法，,例11,若，则可逆，且，其中,为的伴随方阵。,由逆方阵定义，有,由定理2，定理3，可逆的充分必要条件是,中各元素的代数余子式为,于是伴随阵,用此法求逆方阵时，计算量较大。一般地，,注:,奇异矩阵与非奇异矩阵的定义,方阵。,推论:,证明：,易知，可逆的充分必要条件是非奇异。,对阶方阵,则可逆,且,定理4,此推论简化了判定方阵是否可逆的条件。,设皆为阶可逆方阵，则,例12,对于阶可逆方阵定义,例13,解:,于是,例14,例15,回章目录,三、小结,(2)逆矩阵的概念及运算性质.,(
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