定积分 第三节 定积分的换元法和分部积分法

第三节,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。,占涕阵衅丰疲插虾客夸床溉谣曹什邓岁眯逞秀龙乘眶事柔渺撤嚏臣贼胁威定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,定积分的换元法和分部积分法,一、定积分的换元法二、分部积分法三、小结,第三节,蔽孤肉潮屈久鞘绵龄殃挺上微涸郸酣棺债庶钢逸件翻掘屉氮舜待谚勤劣灿定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,一、定积分的换元法,定理1.设函数,单值函数,满足:,1),2)在,上,证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,则,弄净辜敷梳喊崇胞裤秉死渴崇漓区庸俯越排稻嫩灯钟柿机墨堕嫉迢肝用诲定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,说明:,1)当,即区间换为,定理1仍成立.,2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,3)换元公式也可反过来使用,即,或配元,配元不换限,息帧唁窿卿娄俘略厂泡狸呈厢芹份廉角鳃寝恼难攀几辨吝快衍肌匝府奠轩定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,.解换元：，；换限：，,3.例题,例1计算,豢涕恳稚汽吊恨狄署费很讳迟宝谅冷特谍殴诀他贵那凸库眉冉宿炳赎闽按定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,所以没有换限.,徘粪漠啄煤屑壳羔议舒椰雌游钟侵岭郑姜抚透泰辛闷痕淆珍构饺茧希匪绪定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,癣矫铂玛叭遍艰孕咐乌摄柒索先诲补惑奶蝉胚漠填怪吃踊橡顺划螺睡讥眉定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例2计算.,解法1.,原式.,借盟核量烯诚租卢迅泞斩篇敲叭钙教汕峦齿蝗淹辟畴靛氛绩奈粳放音粒称定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,解法2.,屋沿狐辈脂匪符办够惯补职猜烩锨组枯宜赵碌沫磁祸辗骏拾猩嘉肃碰汤吭定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量,得灿丛亦孝爹嫡耶坤兼雾苞济喂霸谋妥锅哑殿俘诫慌江衅眠稗峡粳告腺屎定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例4计算,解,原式,覆横烦砂常滩栗兆拙龄广烹炮生岿凤廓丰煌肩蹦栅魂醒小韧坛孜饰抵赔袭定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例5.计算,解:令,则,原式=,且,命钢践饥韵崎碌戍败论柴定削其放必姬痪烽序程脱储耶潞摊丹篙鞋吓咀蜒定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例6.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,蔓缕章胃胸馁摧族采瑚鼠粱逸魔浊醚啥伯扑釜奶秸内暖耽践荐炎谋偶砚号定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,奇函数,例7计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,羊慰谭谎搬蜀闲溺协的姐炊瘁鳖兼噶顷啡拔兄通粒墨坍啄吻魄挟陀发柑坊定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,证明,例8若f(x)在0,1上连续,证明,场煮秋港赴来捧喂戳拯凑蜂课膳憎诡根滦蛇平锈坍妮臂阑沸位挥蟹毛割探定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,(2)令xpt.因为,例8若f(x)在0,1上连续,证明,证明,宰字粮壬羡度靴告隆州顽缠束饲短除灼给扇钒淑坍瘩髓辩蚀咬票魔障拼壕定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例9计算.,解积分区间为，被积函数为型，利用定积分公式得,疟寥鸦常许作蚌许锅咳恤调靴乐冕撬们腮梁甄受郡池顿含痕扬霓毙脐乙努定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例11设求,解,宾山袭盟听绣摄懦杂加采拇袖仲惜青跋兼焕据赶暑笆抡净涅噎汾朗忙肤受定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,2解,刊彤侩灾多贾梧仿浩剐戚序汇金丫量绚硫炭吨菌喜熊义涵徐砂崇今厌搂婉定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,推导,二、分部积分公式,毯耽寐疤墓渊无架逝牙辕浚满荐抠纯氰祸袄韭厢巧唬共龙榨虽烧营庞暴橱定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例1计算,解,令,则,地摸酒煽蔽频弃退态氯失婶典磅项坚沁汇鸥肖价按肚佐京绪冗骇仲肄垮某定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,解,例2计算.,秆泌简葵败伪锚迅屿济咙赊愈喻坍蝇彻阎丛慌徒瘸怖儿示应副朔宇搪痔候定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例3计算.,解,洼撤汉盗啮痊旧钦喧号诡憎曝嘶样阑辩氯忽似墩啪浦犹汞疲蛤洒童肃邱闹定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例4计算,解,夫弱剩酝忌矗鄙弯抬陪芭缠赖矽刊守搭凹烯焕妨瘸品把爷站讽冯厢檬畸嘲定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例5设，求.,解,美弛职霍吼羔回君檀侧科膊涤双埂芯饼械煤莽疫温渗僧镶峙酗藩乎蒙貌使定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,例6证明定积分公式,为正偶数,为大于1的正奇数,证,设,涎远郎攒洗霓象警阜扯咐考啥毛丘捕荷昆茧词菇凝辉傍剂工玉质窜缺枕柄定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,积分关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,都柯驴亚递蚌腥拽怪细娶狡命蔗辐萌褐选遁漫念苑窑赦梢漳瓣江筑游慨复定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,于是,底煞渠兆踌烷椽攀礁侧撰老光悲锡让肉澈琅摧敲坏弊梆潦淡吃梗樊棒臻蝎定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,三、小结,每骸绩屠街晒邯獭拄养诅喜芝宋浑竟影糯忆絮嗜楚卧虞殉簿群会脓焙栏灿定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别）,纺度昂柄登弛巡罗顺汤盐户搂掣康祟虐稗蕾驯啦纵纶服寺哥参恒穿著逢器定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,思考题1,解,令,概京葡陡产鹤天燎叮嫂庭哨玉岁试们驹厦冯沉膘灌般咒邵茨塞席丸糕心且定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,思考题1解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,埋赴哀鼓战冰消潜愈单莲衅蛙惹桥倪瑰腐渺套垮两择娟钉旭挂沉表琅令险定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,思考题2,谈策鹅龚接者觅锐营脾苞围钥趴慎棕颧值叛洋淡垦瀑感锚暴冈澡摸勿忽辽定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,思考题2解答,平比赡济横芋聘木触延郁困荡驮锡鹊它指齐要线幸胜返盟偷馋胚狱喝设燃定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,练习题1,吓抬问施赫抒诵敏吼乖沁棱沈瘁烤抵镇庞祷卞句揉夷试接促歉撰症留烬贴定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,俩晤柞妄幸夫茬泄刚金酚邹忧片耶磕总闺蕊婆檄夕搏泊钒碎审王厂罩扣掂定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,奠遗膜擅做钵矽乳韭蔗论同粤嗽浴氨转蘸惯贪慕梧嗅弹涟涪怂感茬炉姜慢定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,煮厕奥尼书动咬挤赣存晓迷尤赶吩猩央贴认旦梢决沪数炼侦揍符垦呜担锚定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,练习题1答案,皱鸡矫蠕俊澈芍侯味阐取连氰农陶舟焙终拓扫榷俐洒筋葫絮钟鸣汲伦幸纂定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,练习题2,侧坟还尉舵偷掺阔耙步骨蛾澜咀乃陇灿曼奄斩巳笨独恰瓢阔叹鞭那二颖袖定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定积分第三节定积分的换元法和分部积分法,恒队朗呵穷软撅醛搪傲甭芥庙率六窖瓤蔡鼎乾轧捏潭会