复变函数4.1-4.2复级数及幂级数

第四章解析函数的级数表示,1复数列的极限,2复数项级数,4.1复数项级数,4.1.1复数列的极限,称为复数列,简称,为数列,记为,定义4.1设是数列，是常数.,如果e0,存在正整数N,使得当nN时,不等式,成立,则称当n时,收敛于,或称是的极限,记作,或,复数列收敛与实数列收敛的关系,该结论说明:判别复数列an的敛散性可转化为,判别两个实数列的敛散性.,4.1.2复数项级数,为复数项级数.称,为该级数的前n项部分和.,设是复数列,则称,级数收敛与发散的概念,定义4.2如果级数,的部分和数列收敛于复数S,则称级数收敛,这时称S为级数的和,并记做,如果不收敛，则称级数发散.,复数项级数与实数项级数收敛的关系,定理4.2级数收敛的充要,条件是都收敛,并且,说明,复数项级数的收敛问题,两个实数项级数的收敛问题,级数收敛的必要条件,定理4.3如果级数收敛,则,证明由定理4.2及实数项级数收敛的必要,条件知,重要结论:发散.,于是在判别级数的敛散性时,可先考察,?,定义4.3设是复数项级数,如果正项,级数收敛,则称级数绝对收敛.若,绝对收敛级数的性质,定理4.4若级数绝对收敛,则它收敛,并且成立,绝对收敛和都绝对收敛.,发散，而收敛，则称级数条件收敛.,推论,解:,例4.1,1幂级数的概念,2幂级数的敛散性,3幂级数的性质,4.2幂级数,为复变函数项级数.,为该级数前n项的部分和.,设是定义在区域D上的复变函数列,称,4.2.1幂级数的概念,称为该级数在区域D上的和函数.,如果对级数收敛,即,则称级数在点收敛,且是级数和.,如果级数在D内处处收敛,则称其在,区域D内收敛.此时级数的和是函数,这类函数项级数称为幂级数.,当或时,或的特殊情形,函数项级数的形式为,定理4.5(Abel定理)若级数在,处收敛，则当时,级数绝对收敛;,若级数在处发散，则当时,级数,发散.,4.2.2幂级数的敛散性,收敛圆与收敛半径,(1)对所有的正实数都收敛.,级数在复平面内绝对收敛.,(2)对所有的正实数都发散.,级数在复平面内除原点外处处发散.,(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收,敛的正实数.,设时,级数收敛;时,级数发散.如图:,由,幂级数收敛情况有三种:,.,.,收敛,收敛半径,.,.,收敛圆周,发散,发散,收敛,事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨,问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,以为中心的圆域.,收敛半径根据前面所述的三种情形,分别,规定为,论比较复杂,没有一般的结论,要对具体级数,进行具体分析.,解：,绝对收敛,且有,在内,级数,例4.2求级数的和函数与收敛半径.,所以收敛半径,收敛半径的计算方法(一),(3)当时,收敛半径,(1)当时,收敛半径,(2)当时,收敛半径,定理4.6(比值法)设级数如果,则,收敛半径的计算方法(二),(3)当时,收敛半径,(1)当时,收敛半径,(2)当时,收敛半径,定理4.7(根值法)设级数如果,则,由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此,可得出下面几个性质.,性质4.1(1)设级数和的收敛,4.2.3幂级数的性质,(2)设级数的收敛半径为r.,如果在内,函数解析,并且,则当时,说明:上述运算常应用于将函数展开成幂级数.,前面关于级数的性质,如果将换成,之后,对于级数当然也成立.,例4.3把函数表示成形如,的幂级数,其中a与b是不相等的复常数.,代数变形,使其分母中出现,凑出,把函数写成如下的形式:,当即时,所以,定理4.8设幂级数收敛半径,为R,并且在内,则是内的解析函数,且在收敛