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文档简介

习题课,1.定积分的应用,几何方面:,面积、,体积、,弧长、,表面积.,物理方面:,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2.基本方法:,元素法,元素形状:,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳等.,定积分的应用,第六章,表示为,一、什么问题可以用定积分解决?,1)所求量U是与区间a,b上的某分布f(x)有关的,2)U对区间a,b具有可加性,即可通过,“大化小,常代变,近似和,取极限”,定积分定义,一个整体量;,二、如何应用定积分解决问题?,第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的,微分表达式,第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的,积分表达式,这种分析方法称为元素法(或微元分析法),元素的几何形状常取为:,条,带,段,环,扇,片,壳等,近似值,精确值,一、平面图形的面积,1.直角坐标情形,设曲线,与直线,及x轴所围曲,则,边梯形面积为A,2.极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,即,并称此曲线弧为可求长的.,则称,(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(2)曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(3)曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,三、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,例1.求抛物线,在(0,1)内的一条切线,与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解:设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与x,y轴的交
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