量子力学教程-第三章PPT课件

量子力学,.,1,第三章量子力学中的力学量,3.1表示力学量的算符3.2动量算符和角动量算符3.3电子在库仑场中的运动3.4氢原子3.5厄米算符本正函数的正交性3.6算符和力学量的关系3.7算符的对易关系不确定关系3.8力学量期望值随时间的变化守恒定律3.9例题,量子力学,.,2,引言,量子力学,.,3,代表对波函数进行某种运算或变换的符号,u=v表示把函数u变成v，就是这种变换的算符。,1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。,2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。,由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：,（一）算符定义,3.1表示力学量的算符,量子力学,.,4,（8）逆算符（9）算符函数（10）复共轭算符（11）转置算符（12）厄密共轭算符（13）厄密算符,（1）线性算符（2）算符相等（3）单位算符（4）算符之和（5）算符之积（6）对易关系（7）对易括号,（二）算符的一般特性,量子力学,.,5,（1）线性算符,(c11+c22)=c11+c22其中c1,c2是任意复常数，1,1是任意两个波函数。,满足如下运算规律的算符称为线性算符,（2）算符相等,若两个算符、对体系的任何波函数的运算结果都相同，即=，则算符和算符相等记为=。,例如：,开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。,量子力学,.,6,（4）算符之和,若两个算符、对体系的任何波函数有：(+)=+=则+=称为算符之和。,显然，算符求和满足交换率和结合率。,例如：体系Hamilton算符,量子力学,.,7,（5）算符之积,若()=()=则=其中是任意波函数。,一般来说算符之积不满足交换律，即这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。,（6）对易关系,若，则称与不对易。,显然二者结果不相等，所以:,对易关系,量子力学,.,8,量子力学中最基本的对易关系。,若算符满足=-，则称和反对易。,写成通式:,但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。,注意：当与对易，与对易，不能推知与对易与否。例如：,量子力学,.,9,（7）对易括号,为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：,-,这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：,不难证明对易括号满足如下对易关系：1),=-,2),+=,+,3),=,+,4),+,+,=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。,返回,如果算符与反对易:,=+,量子力学,.,10,（8）逆算符,1.定义:设=,能够唯一的解出,则可定义算符之逆-1为:-1=,并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符(图3.1)就不存在逆.,2.性质I:若算符之逆-1存在,则-1=-1=I,-1=0证:=-1=-1()=-1因为是任意函数,所以-1=I成立.同理,-1=I亦成立.,3.性质II:若,均存在逆算符,则()-1=-1-1,量子力学,.,11,设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛,则可定义算符的函数F()为:,（10）复共轭算符,算符的复共轭算符*就是把表达式中的所有量换成共轭复量.,例如:坐标表象中,（9）算符函数,量子力学,.,12,量子力学,.,13,由于、是任意波函数,所以,同理可证:,（11）转置算符,利用波函数标准条件:当|x|时,0。,量子力学,.,14,(12)厄米共轭算符,由此可得：,转置算符的定义,厄米共轭算符亦可写成：,算符之厄米共轭算符+定义:,可以证明:()+=+(.)+=.+,量子力学,.,15,(13)厄米算符,1.定义:满足下列关系的算符称为厄米算符.,2.性质,性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。即若+=,+=则(+)+=+=(+),性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为()+=+=仅当,=0成立时,()+=才成立。,返回,量子力学,.,16,（三）、算符化法则,如果量子力学中的力学量F是具有经典对应的力学量,则相应于这个力学量的算符可由经典表示式F(r,p)中将p换成算符得到,无经典对应的量，如自旋等，将另行讨论。,表示坐标的算符就是坐标自身,量子力学,.,17,（四）、算符的本征值问题,量子力学,.,18,证明：,量子力学,.,19,量子力学,.,20,3.2动量算符和角动量算符,（一）动量算符（1）动量算符的厄密性（2）动量本征方程（3）箱归一化（二）角动量算符（1）角动量算符及其对易关系（2）角动量本征方程,量子力学,.,21,（一）动量算符,（1）动量算符的厄密性,使用波函数在无穷远处趋于零的边界条件。,（2）动量本征方程,其分量形式：,证：,量子力学,.,22,I.求解,如果取c=(2)-3/2;则p(r)就可归一化为-函数。,II.归一化系数的确定,采用分离变量法，令：,这正是自由粒子的deBroglie波的空间部分波函数。,量子力学,.,23,（3）箱归一化,据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为-函数。但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。,周期性边界条件：在箱子边界的对应点A,A上加上其波函数相等的条件，,这表明，px只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。,量子力学,.,24,波函数变为,这时系数c可由归一化条件来确定：,量子力学,.,25,讨论：,（1）由px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L,可以看出，相邻两本征值的间隔p=2/L与L成反比。当L选的足够大时，本征值间隔可任意小，当L时，本征值变为连续谱。（2）只有分立谱才能归一化为1，连续谱归一化为函数。（3）p(r)expiEt/就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。（4）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。,量子力学,.,26,（二）角动量算符,（1）角动量算符的形式,(I)直角坐标系,角动量平方算符,经典力学中，若动量为p，相对点O的位置矢量为r的粒子绕O点的角动量是：,由于角动量平方算符中含有关于x，y，z偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.,根据量子力学基本假定III，量子力学角动量算符为:,量子力学,.,27,直角坐标与球坐标之间的变换关系,这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,),(II)球坐标,将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：,将（2）式两边分别对xyz求偏导数得：,对于任意函数f(r,)（其中，r,都是x,y,z的函数）则有：,将（3）式两边分别对xyz求偏导数得：,量子力学,.,28,将上面结果代回原式得：,则角动量算符在球坐标中的表达式为：,量子力学,.,29,（2）本征方程,(I)Lz的本征方程,求归一化系数,正交性：,I。波函数有限条件，要求z为实数；II。波函数单值条件，要求当转过2角回到原位时波函数值相等，即：,合记之得正交归一化条件：,其中c为积分常数,亦称归一化系数.,量子力学,.,30,最后得Lz的本征函数和本征值：,讨论：,厄密性要求第一项为零,所以,则,这正是周期性边界条件,量子力学,.,31,(II)L2的本征值问题,L2的本征值方程可写为：,为使Y(,)在变化的整个区域(0,)内都是有限的，则必须满足：=（+1),其中=0,1,2,.,该方程的解就是球函数Ylm(,)，其表达式：,归一化系数，由归一化条件确定,量子力学,.,32,其正交归一条件为：,具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。,(III)本征值的简并度,由于量子数表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m称为磁量子数。,可知，对应一个值，m取值为0,1,2,3,.,共(2+1)个值。因此当确定后，尚有(2+1)个磁量子状态不确定。换言之，对应一个值有(2+1)个量子状态，这种现象称为简并，的简并度是(2+1)度。,根据球函数定义式,量子力学,.,33,与算符的共同本征函数:,量子力学,.,34,量子力学,.,35,3电子在库仑场中的运动,（一）有心力场下的Schrdinger方程（二）求解Schrodinger方程（三）使用标准条件定解（四）归一化系数（五）总结,量子力学,.,36,体系Hamilton量,H的本征方程,对于势能只与r有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。于是方程可改写为：,V=-Ze2/r,考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，电子质量为，电荷为-e，核电荷为+Ze。取核在坐标原点，电子受核电的吸引势能为：,（一）有心力场下的Schrodinger方程,量子力学,.,37,（1）分离变量化简方程,注意到L2Ylm=(+1)2Ylm则方程化为：,令R(r)=u(r)/r代入上式得：,讨论E0情况，方程可改写如下：,（二）求解Schrodinger方程,量子力学,.,38,令,（2）求解,(I)解的渐近行为,时，方程变为,所以可取解为,有限性条件要求A=0,2,量子力学,.,39,量子力学,.,40,量子力学,.,41,量子数取值,由定义式,由此可见，在粒子能量小于零情况下（束缚态）仅当粒子能量取En给出的分立值时，波函数才满足有限性条件的要求。,En0,或总量子数,量子力学,.,42,则径向波函数公式：,径向波函数,第一Borh轨道半径,量子力学,.,43,（四）归一化系数,量子力学,.,44,下面列出了前几个径向波函数Rnl表达式：,量子力学,.,45,（1）本征值和本征函数,（2）能级简并性,能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,m有关，故能级存在简并。,当n确定后，=n-nr-1，所以最大值为n-1。当确定后，m=0,1,2,.,。共2+1个值。所以对于En能级其简并度为：,即对能量本征值En由n2个本征函数与之对应，也就是说有n2个量子态的能量是En。n=1对应于能量最小态，称为基态能量，E1=Z2e4/22，相应基态波函数是100=R10Y00，所以基态是非简并态。,当E0时，能量是分立谱，束缚态。在无穷远处，粒子不出现。波函数可归一化为一。,n=nr+l=0,1,2,.nr=0,1,2,.,（五）总结,量子力学,.,46,（3）简并度与力场对称性,1）由上面求解过程可以知道，由于势场是球对称的（中心力场），所以径向方程与m无关，而与有关。因此，对一般的中心力场，解得的能量E不仅与径量子数nr有关，而且与有关，即E=Enl，简并度就为(2+1)度。但是对于库仑场-Ze2/r这种特殊情况，得到的能量只与n=nr+1有关。所以又出现了对的简并度，这种简并称为附加简并。这是由于库仑场具有比一般中心力场有更高的对称性的表现。2）当考虑Li,Na,K等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动,价电子的势场也是中心力场。但由于核的体积较大，这个场不再是严格的点电荷的库仑场，于是价电子的能级Enl仅对m简并。,量子力学,.,47,3.4氢原子,（一）二体问题的处理（二）氢原子能级和波函数,量子力学,.,48,（1）基本考虑,I.一个具有折合质量的粒子在场中的相对运动;II.二粒子作为一个整体的质心运动。,（2）数学处理,一个电子和一个质子组成的氢原子的Schrodinger方程是：,二体运动可化为：,（一）二体问题的处理,量子力学,.,49,系统Hamilton量则改写为：,其中=12/(1+2)是折合质量。相对坐标和质心坐标下Schrodinger方程形式为：,由于没有交叉项，波函数可以采用分离变量表示为：代入上式并除以(r)(R)得,量子力学,.,50,于是：,只与R有关,只与r有关,第二式是质心运动方程，描述能量为(ET-E)的自由粒子的定态Schrodinger方程，说明质心以能量(ET-E)作自由运动。我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的第一个方程，它描述一个质量为的粒子在势能为V(r)的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数(r)所满足的方程，相对运动能量E就是电子的能级。,量子力学,.,51,(1)基态:n=1的态是基态，E1=-(e4s/22).,氢原子相对运动定态Schrodinger方程,问题的求解上一节已经解决，只要令：Z=1,是折合质量即可。于是氢原子能级和相应的本征函数是：,（二）氢原子能级和波函数,.氢原子能级,量子力学,.,52,2.氢原子谱线,RH是里德堡常数。上式就是由实验总结出来的巴尔末公式。在旧量子论中Bohr是人为加进量子化条件后得到的，而在量子力学中是通过解Schrodinger方程自然而然地导出的，这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。,(2),电子由能级En跃迁到Em时辐射出光,它的频率为:,电子由能级En跃迁到Em时辐射出光,它的频率为:,2.氢原子谱线,电子由能级En跃迁到Em时辐射出光,它的频率为:,2.氢原子谱线,电子由能级En跃迁到Em时辐射出光,它的频率为:,2.氢原子谱线,电子由能级En跃迁到Em时辐射出光,它的频率为:,电子由能级En跃迁到Em时辐射出光,它的频率为:,2.氢原子谱线,电子由能级En跃迁到Em时辐射出光,它的频率为:,2.氢原子谱线,量子力学,.,53,（2）波函数或电子在氢原子中的几率(概率)分布,例如：对于基态求最可几半径,对空间立体角积分后得到在半径rr+dr球壳内找到电子的几率,当氢原子处于nlm(r,)时，电子在(r,)点附近体积元d=r2sindrdd内的几率,.径向几率分布,量子力学,.,54,012345678910111213,n=1,l=0,n=2,l=0,0.3,0.1,0.5,0.4,0.2,0.6,径向概率密度分布曲线,量子力学,.,55,2,1,3,1,4,1,量子力学,.,56,.几率密度随角度变化,对r(0)积分,右图示出了各种,m态下，Wm()关于的函数关系，由于它与角无关，所以图形都是绕z轴旋转对称的立体图形。,例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，与也无关，是一个球对称分布。,电子在(,)附近立体角d=sindd内的几率,=0,s态,量子力学,.,57,例2.=1,m=1时，W1,1()=(3/8)sin2。在=/2时，有最大值。在=0沿极轴方向（z向）W1,1=0。,例3.=1,m=0时，W1,0()=3/4cos2。正好与例2相反，在=0时，最大；在=/2时，等于零。,例2,例3,=1P态,量子力学,.,58,量子力学,.,59,(1),(2),(3),量子力学,.,60,直接验证氢原子基态波函数,是Hamiltonian,的本征函数，相应本征值为,但不是动能算符,或势能算符,的本征函数。,量子力学,.,61,量子力学,.,62,量子力学,.,63,定理：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交,若FmFn，则必有：,3.正交归一系,满足上式(1)或（2）的函数系n或称为正交归一（函数）系。,3.5厄米算符本征函数的正交性,量子力学,.,64,简并情况,上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。如果F的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：n1,n2,.,nf，满足本征方程：,一般说来，这些函数并不一定正交。但是，可以证明由这f个函数可以线性组合成f个独立的新函数，它们仍属于本征值Fn且满足正交归一化条件。,证明:,1.nj是本征值Fn的本征函数。,2.满足正交归一条件的f个新函数nj可以组成正交归一系。,量子力学,.,65,1.nj是本征值Fn的本征函数。,2.满足正交归一条件的f个新函数nj可以组成正交归一系。,算符F本征值Fn简并的本质是：当Fn确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，F算符与这些算符两两对易，其本征值与Fn一起共同确定状态。,综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。,方程个数f(f+1)/2少于待定系数Aji的个数f2，因而，我们有多种可能来确定这f2个系数使上式成立。f个新函数nj的确是算符F对应于本征值Fn的正交归一化的本征函数。,量子力学,.,66,实例,量子力学,.,67,量子力学,.,68,量子力学,.,69,（一）力学量的可能值,（二）力学量的平均值,（1）力学量算符本征函数组成完备系（2）力学量的可能值和相应几率（3）力学量有确定值的条件,6算符与力学量的关系,（三）例题,量子力学,.,70,但是还有两点问题没有搞清楚：,1.测得每个本征值n的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，对应几率是多少;哪些测不到，几率为零。,2.是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。,要解决上述问题，我们还得从讨论本征函数的另一重要性质入手。,(1)力学量算符本征函数组成完备系,1.函数的完备性,例如：动量本征函数组成完备系,（一）力学量的可能值,量子力学,.,71,2.力学量算符的本征函数组成完备系,(I)数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系,即若：,则任意函数(x)可按n(x)展开：,(II)除上面提到的动量本征函数外,人们已经证明了一些力学量算符的本征函数也构成完备系，如下表所示：,但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。,量子力学,.,72,（3）力学量的可能值和相应几率,现在我们再来讨论在一般状态(x)中测量力学量F，将会得到哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。,根据量子力学基本假定III，测力学量F得到的可能值必是力学量算符F的本征值n(n=1,2,.)之一,该本征值由本征方程确定：,而每一本征值n各以一定几率出现。那末这些几率究竟是多少呢？下面我们讨论这个问题。,由于n(x)组成完备系，所以体系任一状态(x)可按其展开：,展开系数cn与x无关。,讨论：,与波函数(x)按动量本征函数展开式比较二者完全相同,我们知道：(x)是坐标空间的波函数；c(p)是动量空间的波函数；则cn则是F空间的波函数，三者完全等价。,量子力学,.,73,证明：当(x)已归一时，c(p)也是归一的，同样cn也是归一的。,证：,量子力学基本假定IV,量子力学,.,74,（4）力学量有确定值的条件,推论：当体系处于(x)态时，测量力学量F具有确定值的充要条件是(x)必须是算符F的一个本征态。,证：,1.必要性。若F具有确定值则(x)必为F的本征态。,确定值的意思就是每次测量都为。,根据基本假定III，测量值必为本征值之一，令=m是F的一个本征值，满足本征方程,又根据基本假定IV，n(x)组成完备系，,且测得可能值是：1,2,.,m,相应几率是：|c1|2,|c2|2,.,|cm|2,.。,现在只测得m，所以|cm|2=1,|c1|2=|c2|2=.=0（除|cm|2外）。于是得(x)=m(x)，即(x)是算符F的一个本征态。,量子力学,.,75,2.充分性。若(x)是F的一个本征态，即(x)=m(x)，则F具有确定值。,根据基本假定IV，力学量算符F的本征函数组成完备系。,所以,测得n的几率是|cn|2。,因为,表明，测量F得m的几率为1，因而有确定值。,量子力学,.,76,如果波函数未归一化,在任一态(x)中测量某力学量F的平均值可写为：,则,这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的,此式等价于以前的平均值公式：,（二）力学量的平均值,量子力学,.,77,量子力学,.,78,量子力学,.,79,量子力学,.,80,例1：已知空间转子处于如下状态,试问：（1）是否是L2的本征态？（2）是否是Lz的本征态？（3）求L2的平均值；（4）在态中分别测量L2和Lz时得到的可能值及其相应的几率。,解：,没有确定的L2的本征值，故不是L2的本征态。,量子力学,.,81,是Lz的本征态，本征值为,（3）求L2的平均值,方法I,验证归一化：,量子力学,.,82,归一化波函数,方法II,（4）,量子力学,.,83,例2：（周）3.6设t=0时，粒子的状态为(x)=Asin2kx+(1/2)coskx求粒子的平均动量和平均动能。,解：,可写成单色平面波的叠加,比较二式，因单色平面波动量有确定值：,或：,量子力学,.,84,从而得：,归一化后。|c(pi)|2表示粒子具有动量为pi的几率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。,量子力学,.,85,（1）动量平均值,（2）动能平均值,量子力学,.,86,算符的对易关系两个力学量同时有确定值的条件两算符对易的物理含义力学量完全集合,3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件不确定关系,量子力学,.,87,对易关系,（一）算符的对易关系,0为对易；不为零为不对易,动量算符的对易关系,量子力学,.,88,角动量算符的对易关系,证：,对易,量子力学,.,89,定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。,证：,因为(x)是任意函数,则,由于n组成完备系，所以任意态函数(x)可以按其展开：,量子力学,.,90,逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。,证：,考察：,n也是G的本征函数，同理F的所有本征函数n（n=1，2，)也都是G的本征函数，因此二算符具有共同完备的本征函数系.,仅考虑非简并情况,即：,与n只差一常数Gn,量子力学,.,91,（二）两力学量同时有确定值的条件,结论：,当在态中测量力学量F和G时，如果同时具有确定值，那么必是二力学量共同本征函数。,量子力学,.,92,定理：一组力学量算符具有共